Номер 578, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

578. В круг с радиусом $R$ вписаны три равных круга, касающихся друг друга. Найдите площадь той части большого круга, которая не покрывается вписанными кругами (рис. 404).

Рис. 404

Для решения задачи необходимо найти площадь закрашенной фигуры. Эта площадь равна разности площади большого круга и суммарной площади трех малых вписанных кругов.

Пусть $R$ — радиус большого круга, а $r$ — радиус каждого из трех малых равных кругов. Площадь большого круга $S_{Б}$ равна $ \pi R^2 $. Площадь одного малого круга $S_{м}$ равна $ \pi r^2 $. Искомая площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = S_{Б} - 3 \cdot S_{м} = \pi R^2 - 3\pi r^2 = \pi(R^2 - 3r^2)$. Чтобы найти $S$, нужно выразить $r$ через $R$.

Соединим центры трех малых кругов. Так как они равны и касаются друг друга, их центры образуют равносторонний треугольник со стороной $a = r + r = 2r$. Обозначим центры малых кругов как $O_1, O_2, O_3$. Центр большого круга $O$ совпадает с центром (центроидом) равностороннего треугольника $O_1O_2O_3$ в силу симметрии.

Радиус большого круга $R$ можно представить как сумму расстояния от его центра $O$ до центра одного из малых кругов (например, $O_1$) и радиуса этого малого круга $r$. То есть, $R = OO_1 + r$. Расстояние от центра (центроида) равностороннего треугольника до его вершины равно радиусу описанной около этого треугольника окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ этот радиус равен $ \frac{a}{\sqrt{3}} $. В нашем случае $a = 2r$, поэтому расстояние $OO_1 = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим это выражение в формулу для $R$:$R = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r = r \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) = r \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$. Выразим $r$ через $R$:$r = R \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$. Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{3})$:$r = R \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = R \frac{2\sqrt{3}-3}{4-3} = R(2\sqrt{3}-3)$.

Теперь мы можем найти площадь трех малых кругов через $R$:$3S_{м} = 3\pi r^2 = 3\pi (R(2\sqrt{3}-3))^2 = 3\pi R^2 (2\sqrt{3}-3)^2$. Раскроем квадрат разности:$(2\sqrt{3}-3)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 + 3^2 = 12 - 12\sqrt{3} + 9 = 21 - 12\sqrt{3}$. Тогда $3S_{м} = 3\pi R^2 (21 - 12\sqrt{3}) = \pi R^2 (63 - 36\sqrt{3})$.

Наконец, найдем искомую площадь $S$:$S = S_{Б} - 3S_{м} = \pi R^2 - \pi R^2 (63 - 36\sqrt{3}) = \pi R^2 (1 - (63 - 36\sqrt{3})) = \pi R^2 (1 - 63 + 36\sqrt{3}) = \pi R^2 (36\sqrt{3} - 62)$. Можно вынести за скобки общий множитель 2:$S = 2\pi R^2 (18\sqrt{3} - 31)$.

Ответ: $2\pi R^2 (18\sqrt{3} - 31)$