Номер 571, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

571. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, у которого противоположные стороны $AB$ и $CD$ длиной соответственно 2 и 4 перпендикулярны, а стороны $AD$ и $BC$ равны 5 и 7 соответственно.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Построение

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Совершим параллельный перенос стороны $BA$ на вектор $\vec{AC'}$, где $C'$ - новая точка. Точнее, построим точку $E$ такую, что вектор $\vec{CE}$ равен вектору $\vec{BA}$.

$\vec{CE} = \vec{BA}$

В результате такого построения мы получаем параллелограмм $ABCE$. В этом параллелограмме стороны $AB$ и $EC$ равны и параллельны, а стороны $BC$ и $AE$ также равны и параллельны. Из этого следует:

• $CE = BA = 2$
• $AE = BC = 7$

2. Преобразование площади

Площадь исходного четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $AC$:

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$

Поскольку $ABCE$ — параллелограмм, его диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle AEC$.

$S_{ABC} = S_{AEC}$

Заменив в формуле площади $S_{ABC}$ на $S_{AEC}$, получим:

$S_{ABCD} = S_{AEC} + S_{ADC}$

Сумма площадей треугольников $\triangle AEC$ и $\triangle ADC$ представляет собой площадь четырехугольника $ADEC$. Таким образом, мы свели задачу к нахождению площади этого нового четырехугольника.

$S_{ABCD} = S_{ADEC}$

3. Нахождение площади четырехугольника ADEC

Площадь четырехугольника $ADEC$ можно найти, разбив его на треугольники $\triangle DCE$ и $\triangle ADE$ диагональю $DE$.

$S_{ADEC} = S_{DCE} + S_{ADE}$

Найдем площади этих треугольников. Для этого сначала определим длины их сторон.

Стороны треугольника DCE:

• $DC = 4$ (дано по условию)
• $CE = 2$ (из построения)
• $DE$: Найдем длину стороны $DE$ из векторного равенства $\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}$. Так как $\vec{CE} = \vec{BA}$, то $\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{BA}$.

По условию, стороны $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Это означает, что векторы, лежащие на прямых, содержащих эти стороны, также перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ перпендикулярны. Для перпендикулярных векторов квадрат длины их суммы равен сумме квадратов их длин (по теореме Пифагора):

$DE^2 = |\vec{DE}|^2 = |\vec{DC} + \vec{BA}|^2 = |\vec{DC}|^2 + |\vec{BA}|^2 = CD^2 + BA^2$

$DE^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Итак, стороны треугольника $DCE$ равны $4$, $2$ и $2\sqrt{5}$. Проверим, является ли он прямоугольным: $4^2 + 2^2 = 16+4=20 = (2\sqrt{5})^2$. Так как $DC^2 + CE^2 = DE^2$, треугольник $DCE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Площадь $\triangle DCE$:

$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$

Стороны треугольника ADE:

• $AD = 5$ (дано по условию)
• $AE = 7$ (из построения)
• $DE = 2\sqrt{5}$ (найдено ранее)

Для нахождения площади $\triangle ADE$ воспользуемся формулой Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{AD+AE+DE}{2} = \frac{5+7+2\sqrt{5}}{2} = \frac{12+2\sqrt{5}}{2} = 6+\sqrt{5}$

Площадь $\triangle ADE$:

$S_{ADE} = \sqrt{s(s-AD)(s-AE)(s-DE)}$

$S_{ADE} = \sqrt{(6+\sqrt{5})(6+\sqrt{5}-5)(6+\sqrt{5}-7)(6+\sqrt{5}-2\sqrt{5})}$

$S_{ADE} = \sqrt{(6+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})(-1+\sqrt{5})(6-\sqrt{5})}$

$S_{ADE} = \sqrt{[(6+\sqrt{5})(6-\sqrt{5})][(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)]}$

$S_{ADE} = \sqrt{(6^2 - (\sqrt{5})^2)((\sqrt{5})^2 - 1^2)} = \sqrt{(36-5)(5-1)} = \sqrt{31 \cdot 4} = 2\sqrt{31}$

4. Итоговая площадь

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника $ABCD$:

$S_{ABCD} = S_{ADEC} = S_{DCE} + S_{ADE} = 4 + 2\sqrt{31}$

Ответ: $4 + 2\sqrt{31}$.