Номер 567, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

567. Докажите, что площадь трапеции равна:

а) удвоенной площади треугольника, вершинами которого являются концы одной боковой стороны и середина другой;

б) произведению одной боковой стороны и перпендикуляра к ней, опущенного из середины другой боковой стороны.

а) удвоенной площади треугольника, вершинами которого являются концы одной боковой стороны и середина другой;

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Рассмотрим треугольник $MCD$, вершинами которого являются концы боковой стороны $CD$ и середина стороны $AB$. Требуется доказать, что площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна удвоенной площади этого треугольника: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

Проведем прямую через точки $C$ и $M$ до пересечения с продолжением прямой $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим треугольники $BMC$ и $AME$. В этих треугольниках:
1. $AM = MB$ по условию, так как $M$ — середина $AB$.
2. $\angle BMC = \angle AME$ как вертикальные углы.
3. $\angle MCB = \angle MEA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ (которая является продолжением $AD$) и секущей $CE$.

Следовательно, треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AME$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA).

Из равенства треугольников следует, что их площади равны: $S_{BMC} = S_{AME}$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $AMCD$ и треугольника $BMC$:
$S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{BMC}$.

Заменив $S_{BMC}$ на равную ей $S_{AME}$, получим:
$S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{AME}$.

Сумма площадей $S_{AMCD}$ и $S_{AME}$ составляет площадь треугольника $DCE$. Таким образом, $S_{ABCD} = S_{DCE}$.

Также из равенства $\triangle BMC \cong \triangle AME$ следует, что $CM = ME$. Это означает, что $M$ является серединой отрезка $CE$. В треугольнике $DCE$ отрезок $DM$ является медианой, так как он соединяет вершину $D$ с серединой противоположной стороны $CE$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Следовательно, $S_{MCD} = S_{MDE}$.

Площадь треугольника $DCE$ равна сумме площадей треугольников $MCD$ и $MDE$:
$S_{DCE} = S_{MCD} + S_{MDE} = S_{MCD} + S_{MCD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

Так как мы установили, что $S_{ABCD} = S_{DCE}$, то окончательно получаем:
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь трапеции равна удвоенной площади треугольника, вершинами которого являются концы одной боковой стороны и середина другой.

б) произведению одной боковой стороны и перпендикуляра к ней, опущенного из середины другой боковой стороны.

Используем результат, доказанный в пункте а): площадь трапеции $ABCD$ равна удвоенной площади треугольника $MCD$.
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MCD}$,
где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $C$ и $D$ — вершины другой боковой стороны $CD$.

Площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Рассмотрим площадь треугольника $MCD$. Выберем в качестве основания его сторону $CD$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр, опущенный из вершины $M$ на прямую, содержащую сторону $CD$. Обозначим длину этого перпендикуляра как $h_M$. Этот перпендикуляр и есть тот, о котором говорится в условии задачи.

Тогда площадь треугольника $MCD$ равна:
$S_{MCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_M$.

Подставим это выражение в формулу для площади трапеции из пункта а):
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MCD} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_M) = CD \cdot h_M$.

Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции равна произведению одной боковой стороны ($CD$) и перпендикуляра к ней, опущенного из середины другой боковой стороны ($M$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь трапеции равна произведению одной боковой стороны и перпендикуляра к ней, опущенного из середины другой боковой стороны.