Номер 563, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

563. Найдите площадь трапеции, у которой:

а) основания равны 142 см и 89 см, а диагонали — 120 см и 153 см;

б) высота равна 12 см, а диагонали — 20 см и 15 см;

в) основания равны 6 см и 20 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см.

а)

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 142$ см и $b = 89$ см, и диагоналями $d_1 = 120$ см и $d_2 = 153$ см. Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующим методом. Проведем через одну из вершин верхнего основания, например C, прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением нижнего основания AD в точке E. В результате получим треугольник ACE.

Площадь этого треугольника ACE равна площади исходной трапеции ABCD. Это следует из того, что высота у них общая (высота трапеции h), а основание треугольника AE равно сумме оснований трапеции ($AE = AD + DE = AD + BC = a+b$). Таким образом, $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h = \frac{AE}{2}h = S_{ACE}$.

Стороны треугольника ACE равны:

• $AC = d_1 = 120$ см
• $CE = BD = d_2 = 153$ см (так как BCED — параллелограмм)
• $AE = a + b = 142 + 89 = 231$ см

Найдем площадь треугольника ACE по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где p — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{120 + 153 + 231}{2} = \frac{504}{2} = 252$ см.

Вычислим площадь:$S = \sqrt{252(252-120)(252-153)(252-231)} = \sqrt{252 \cdot 132 \cdot 99 \cdot 21}$

Для удобства вычислений разложим числа под корнем на множители:$S = \sqrt{(36 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 11) \cdot (9 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 7)} = \sqrt{36 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 49 \cdot 121}$$S = \sqrt{6^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2} = 6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 8316$ см².

Ответ: $8316$ см².

б)

Дана трапеция с высотой $h = 12$ см и диагоналями $d_1 = 20$ см и $d_2 = 15$ см. Как и в предыдущем пункте, построим треугольник, площадь которого равна площади трапеции. Стороны этого треугольника равны диагоналям трапеции ($d_1$ и $d_2$), а основание — сумме оснований трапеции ($a+b$). Высота этого треугольника, проведенная к основанию ($a+b$), равна высоте трапеции $h=12$ см.

Пусть этот треугольник — ACE, со сторонами $AC=20$ см, $CE=15$ см и основанием AE. Проведем в нем высоту CH, равную 12 см. Высота делит треугольник ACE на два прямоугольных треугольника: AHC и EHC.

Рассмотрим $\triangle AHC$. По теореме Пифагора:$AH^2 = AC^2 - CH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$.$AH = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим $\triangle EHC$. По теореме Пифагора:$EH^2 = CE^2 - CH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$.$EH = \sqrt{81} = 9$ см.

Основание треугольника $AE = AH + EH = 16 + 9 = 25$ см.

Площадь треугольника ACE (а значит и трапеции) равна:$S = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 12 = 25 \cdot 6 = 150$ см².

Ответ: $150$ см².

в)

Дана трапеция с основаниями $a = 20$ см и $b = 6$ см, и боковыми сторонами $c = 13$ см и $d = 15$ см. Для вычисления площади по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$ нам необходимо найти высоту $h$.

Проведем из вершин B и C верхнего основания высоты BH и CK на нижнее основание AD. $BH = CK = h$. Фигура HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 6$ см.

Нижнее основание AD делится высотами на три отрезка: AH, HK, KD. Пусть $AH = x$. Тогда отрезок $KD = AD - AH - HK = 20 - x - 6 = 14 - x$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Применим к ним теорему Пифагора:

• Из $\triangle ABH$: $h^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$.
• Из $\triangle DCK$: $h^2 = CD^2 - KD^2 = 15^2 - (14-x)^2 = 225 - (14-x)^2$.

Так как левые части уравнений равны ($h^2$), приравняем и правые части:$169 - x^2 = 225 - (14-x)^2$$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)$$169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2$$169 = 29 + 28x$$28x = 169 - 29$$28x = 140$$x = \frac{140}{28} = 5$ см.

Теперь, зная $x=5$, найдем высоту $h$:$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная высоту, вычисляем площадь трапеции:$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{20+6}{2} \cdot 12 = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см².

Ответ: $156$ см².