Номер 557, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

557. Прямая, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$ и разделяющая его медиану $BG$ в отношении $1 : 2$, если считать от вершины, пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Определите, какую часть площади треугольника $ABC$ составляет площадь треугольника $ABK$.

Пусть дан треугольник $ABC$. $BG$ – медиана, проведенная к стороне $AC$, следовательно, точка $G$ является серединой стороны $AC$, то есть $AG = GC$.

Прямая, проходящая через вершину $A$, пересекает медиану $BG$ в точке $O$ и сторону $BC$ в точке $K$. По условию, точка $O$ делит медиану $BG$ в отношении $BO : OG = 1 : 2$.

Требуется найти, какую часть площади треугольника $ABC$ составляет площадь треугольника $ABK$, то есть найти отношение $\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}$.

Треугольники $ABK$ и $ABC$ имеют общую вершину $A$ и их основания $BK$ и $BC$ лежат на одной прямой. Следовательно, они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Отношение их площадей равно отношению длин их оснований:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{BK}{BC}$

Таким образом, задача сводится к нахождению отношения $\frac{BK}{BC}$. Для этого воспользуемся методом дополнительного построения.

Решение:

1. Проведем через точку $G$ прямую, параллельную прямой $AK$. Пусть эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Таким образом, $GM \parallel AK$.

2. Рассмотрим треугольник $AKC$. В нем $G$ – середина стороны $AC$. Прямая $GM$ параллельна стороне $AK$ и пересекает сторону $KC$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии трапеции, если рассматривать трапецию с вершинами на отрезках $AK$ и $GM$), отрезок $GM$ делит сторону $KC$ пополам. Следовательно, $M$ – середина отрезка $KC$, то есть $KM = MC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BGM$. Отрезок $OK$ лежит внутри этого треугольника и, по нашему построению, $OK \parallel GM$. По теореме Фалеса, прямая $OK$ делит стороны $BG$ и $BM$ пропорционально:

$\frac{BK}{KM} = \frac{BO}{OG}$

4. Из условия задачи известно, что $\frac{BO}{OG} = \frac{1}{2}$. Следовательно:

$\frac{BK}{KM} = \frac{1}{2}$

Отсюда получаем, что $KM = 2 \cdot BK$.

5. Из шага 2 мы знаем, что $MC = KM$. Значит, $MC = 2 \cdot BK$.

6. Теперь мы можем выразить длину стороны $BC$ через длину отрезка $BK$:

$BC = BK + KM + MC$

Подставим найденные соотношения:

$BC = BK + (2 \cdot BK) + (2 \cdot BK) = 5 \cdot BK$

7. Из этого равенства находим искомое отношение отрезков:

$\frac{BK}{BC} = \frac{1}{5}$

8. Наконец, возвращаемся к отношению площадей:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{5}$

Таким образом, площадь треугольника $ABK$ составляет $\frac{1}{5}$ часть площади треугольника $ABC$.

Ответ: Площадь треугольника $ABK$ составляет $\frac{1}{5}$ площади треугольника $ABC$.