Номер 550, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

550. Точки $G_1$, $G_2$, $G_3$ являются проекциями центроида $G$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ на стороны $BC$, $AC$, $AB$ соответственно (рис. 396). Докажите, что площадь треугольника $GG_1G_2$ равна площади четырехугольника $GG_1G_3G_2$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат. Этот метод позволяет напрямую вычислить площади указанных фигур и сравнить их.

1. Введение системы координат
Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартову систему координат. Так как угол $C$ является прямым, удобно расположить вершину $C$ в начале координат $C(0, 0)$. Катеты $AC$ и $BC$ разместим вдоль осей координат. Пусть длина катета $AC$ равна $b$, а длина катета $BC$ равна $a$. В этом случае вершины треугольника будут иметь следующие координаты: $C(0, 0)$, $A(b, 0)$ и $B(0, a)$.

2. Нахождение координат точек G, G₁ и G₂
Центроид $G$ (точка пересечения медиан) треугольника $ABC$ имеет координаты, равные среднему арифметическому координат его вершин:$G = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right) = \left( \frac{b+0+0}{3}, \frac{0+a+0}{3} \right) = \left( \frac{b}{3}, \frac{a}{3} \right)$.
Точки $G_1$ и $G_2$ являются проекциями точки $G$ на стороны $BC$ и $AC$ соответственно.

• Сторона $BC$ лежит на оси $Oy$ (ее уравнение $x=0$), поэтому проекция точки $G(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ на нее есть точка $G_1(0, \frac{a}{3})$.
• Сторона $AC$ лежит на оси $Ox$ (ее уравнение $y=0$), поэтому проекция точки $G(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ на нее есть точка $G_2(\frac{b}{3}, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника $GG_1G_2$
Найдем площадь треугольника $GG_1G_2$ с вершинами $G(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$, $G_1(0, \frac{a}{3})$ и $G_2(\frac{b}{3}, 0)$.
Сторона $GG_1$ параллельна оси абсцисс, и ее длина $GG_1 = \frac{b}{3}$.
Сторона $GG_2$ параллельна оси ординат, и ее длина $GG_2 = \frac{a}{3}$.
Поскольку оси координат перпендикулярны, угол $\angle G_1GG_2 = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle GG_1G_2$ является прямоугольным. Его площадь равна:$S_{\triangle GG_1G_2} = \frac{1}{2} \cdot GG_1 \cdot GG_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{3} \cdot \frac{a}{3} = \frac{ab}{18}$.

4. Вычисление площади четырехугольника $GG_1G_3G_2$
Для вычисления площади четырехугольника $GG_1G_3G_2$ воспользуемся формулой площади многоугольника по координатам его вершин (также известной как формула Гаусса или "шнурков"). Вершины четырехугольника в заданном порядке: $G(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$, $G_1(0, \frac{a}{3})$, $G_3(x_3, y_3)$, $G_2(\frac{b}{3}, 0)$.
Точка $G_3(x_3, y_3)$ является проекцией точки $G$ на гипотенузу $AB$. Уравнение прямой $AB$, проходящей через точки $A(b,0)$ и $B(0,a)$, имеет вид $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$, или $ax + by - ab = 0$. Так как $G_3$ лежит на этой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению $ax_3 + by_3 = ab$.
Применим формулу площади для четырехугольника:$S_{GG_1G_3G_2} = \frac{1}{2} |(x_G y_{G1} + x_{G1} y_{G3} + x_{G3} y_{G2} + x_{G2} y_G) - (y_G x_{G1} + y_{G1} x_{G3} + y_{G3} x_{G2} + y_{G2} x_G)|$
Подставляя координаты вершин, получаем:$S_{GG_1G_3G_2} = \frac{1}{2} |\left(\frac{b}{3} \cdot \frac{a}{3} + 0 \cdot y_3 + x_3 \cdot 0 + \frac{b}{3} \cdot \frac{a}{3}\right) - \left(\frac{a}{3} \cdot 0 + \frac{a}{3} \cdot x_3 + y_3 \cdot \frac{b}{3} + 0 \cdot \frac{b}{3}\right)|$
$S_{GG_1G_3G_2} = \frac{1}{2} |\left(\frac{ab}{9} + \frac{ab}{9}\right) - \left(\frac{a x_3}{3} + \frac{b y_3}{3}\right)|$
$S_{GG_1G_3G_2} = \frac{1}{2} |\frac{2ab}{9} - \frac{ax_3 + by_3}{3}|$.
Теперь используем ключевое соотношение $ax_3 + by_3 = ab$, которое справедливо, так как $G_3$ лежит на прямой $AB$:
$S_{GG_1G_3G_2} = \frac{1}{2} |\frac{2ab}{9} - \frac{ab}{3}| = \frac{1}{2} |\frac{2ab - 3ab}{9}| = \frac{1}{2} |-\frac{ab}{9}| = \frac{ab}{18}$.

5. Заключение
В результате вычислений мы получили, что $S_{\triangle GG_1G_2} = \frac{ab}{18}$ и $S_{GG_1G_3G_2} = \frac{ab}{18}$.
Следовательно, площади этих фигур равны.

Ответ: Утверждение, что площадь треугольника $GG_1G_2$ равна площади четырехугольника $GG_1G_3G_2$, доказано.