Номер 544, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

544. Каждая вершина параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Определите, какую часть площади параллелограмма составляет площадь восьмиугольника, ограниченного этими отрезками (рис. 393).

Рис. 393

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство аффинных преобразований, которые сохраняют отношение площадей. Любой параллелограмм можно преобразовать в единичный квадрат с помощью аффинного преобразования. Это означает, что отношение площади восьмиугольника к площади параллелограмма будет таким же, как отношение площади соответствующего восьмиугольника к площади квадрата. Таким образом, мы можем решить задачу для единичного квадрата, что значительно упрощает вычисления.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ с вершинами в точках $A(0, 0)$, $B(1, 0)$, $C(1, 1)$ и $D(0, 1)$. Площадь этого квадрата равна $S_{ABCD} = 1^2 = 1$.

Найдем координаты середин его сторон:

• Середина $M_{AB}$ стороны $AB$: $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0)$
• Середина $M_{BC}$ стороны $BC$: $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, \frac{1}{2})$
• Середина $M_{CD}$ стороны $CD$: $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$
• Середина $M_{DA}$ стороны $DA$: $(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}) = (0, \frac{1}{2})$

Согласно условию, каждая вершина соединяется с серединами двух сторон, с которыми она не смежна. Например, вершина $A$ соединяется с серединами сторон $BC$ и $CD$. Всего проводится 8 отрезков. Эти отрезки образуют в центре восьмиугольник.

Можно показать, что эти 8 отрезков образуют 4 пары параллельных прямых. Внутренний восьмиугольник является пересечением двух центральных параллелограммов.

Найдем уравнения прямых, образующих первый параллелограмм ($Q_1$):

• $A(0,0) \to M_{CD}(\frac{1}{2}, 1)$: $y = 2x$
• $C(1,1) \to M_{AB}(\frac{1}{2}, 0)$: наклон $k=\frac{1-0}{1-1/2}=2$. Уравнение: $y-1 = 2(x-1) \implies y = 2x-1$
• $B(1,0) \to M_{DA}(0, \frac{1}{2})$: наклон $k=\frac{1/2-0}{0-1}=-\frac{1}{2}$. Уравнение: $y-0 = -\frac{1}{2}(x-1) \implies y = -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
• $D(0,1) \to M_{BC}(1, \frac{1}{2})$: наклон $k=\frac{1/2-1}{1-0}=-\frac{1}{2}$. Уравнение: $y-1 = -\frac{1}{2}(x-0) \implies y = -\frac{1}{2}x+1$

Найдем уравнения прямых, образующих второй параллелограмм ($Q_2$):

• $A(0,0) \to M_{BC}(1, \frac{1}{2})$: $y = \frac{1}{2}x$
• $C(1,1) \to M_{DA}(0, \frac{1}{2})$: наклон $k=\frac{1-1/2}{1-0}=\frac{1}{2}$. Уравнение: $y-1 = \frac{1}{2}(x-1) \implies y = \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
• $B(1,0) \to M_{CD}(\frac{1}{2}, 1)$: наклон $k=\frac{1-0}{1/2-1}=-2$. Уравнение: $y-0 = -2(x-1) \implies y = -2x+2$
• $D(0,1) \to M_{AB}(\frac{1}{2}, 0)$: наклон $k=\frac{0-1}{1/2-0}=-2$. Уравнение: $y-1 = -2(x-0) \implies y = -2x+1$

Вершины восьмиугольника являются точками пересечения прямых из разных семейств. Найдем эти вершины, решая системы уравнений.

Вершинами восьмиугольника являются следующие 8 точек:

• $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ - пересечение $y=x/2$ и $y=-2x+1$
• $(\frac{3}{5}, \frac{1}{5})$ - пересечение $y=2x-1$ и $y=-x/2+1/2$
• $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$ - пересечение $y=x/2$ и $y=-2x+2$
• $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ - пересечение $y=2x-1$ и $y=-x/2+1$
• $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ - пересечение $y=x/2+1/2$ и $y=-2x+2$
• $(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ - пересечение $y=2x$ и $y=-x/2+1$
• $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ - пересечение $y=x/2+1/2$ и $y=-2x+1$
• $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ - пересечение $y=2x$ и $y=-x/2+1/2$

Для нахождения площади восьмиугольника ($S_{oct}$) можно использовать метод вычитания. Восьмиугольник можно вписать в квадрат с вершинами $(\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$ и $(\frac{4}{5}, \frac{4}{5})$.

Сторона этого квадрата равна $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. Его площадь $S_{box} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.

Из углов этого квадрата нужно вычесть четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Например, в левом нижнем углу треугольник с вершинами $(\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$, $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ и $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$.

Катеты каждого такого треугольника равны $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$.

Площадь одного треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{50}$.

Суммарная площадь четырех треугольников $S_{4\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{50} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$.

Площадь восьмиугольника равна:

$S_{oct} = S_{box} - S_{4\triangle} = \frac{9}{25} - \frac{2}{25} = \frac{7}{25}$.

Так как площадь всего квадрата равна 1, то отношение площади восьмиугольника к площади квадрата составляет $\frac{7/25}{1} = \frac{7}{25}$.

Поскольку отношение площадей сохраняется при аффинных преобразованиях, то и для исходного параллелограмма это отношение будет таким же.

Ответ: Площадь восьмиугольника составляет $\frac{7}{25}$ от площади параллелограмма.