Номер 542, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

542. Найдите площади треугольников, на которые треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см разделяется:

а) своими медианами;

б) медианой и высотой, проведенными к средней по длине стороне.

Для решения задачи сначала найдем площадь исходного треугольника со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь найдем площадь треугольника:

$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Площадь исходного треугольника равна 84 см².

а) своими медианами;

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (которая называется центроидом) и разделяют треугольник на шесть меньших треугольников. Согласно свойству медиан, все эти шесть треугольников имеют равные площади.

Следовательно, площадь каждого из шести треугольников составляет $\frac{1}{6}$ от общей площади треугольника:

$S_{малого} = \frac{S}{6} = \frac{84}{6} = 14$ см².

Таким образом, медианы разделяют исходный треугольник на шесть треугольников, площадь каждого из которых равна 14 см².

Ответ: 6 треугольников площадью 14 см² каждый.

б) медианой и высотой, проведенными к средней по длине стороне.

Стороны треугольника имеют длины 13 см, 14 см и 15 см. Средняя по длине сторона — это сторона длиной 14 см. Обозначим вершины треугольника как $A, B, C$ так, чтобы сторона $AC = 14$ см, $AB = 13$ см, и $BC = 15$ см.

К стороне $AC$ проведем из вершины $B$ медиану $BM$ и высоту $BH$. Эти два отрезка разделят треугольник $ABC$ на три меньших треугольника. Для нахождения их площадей выполним следующие шаги:

1. Найдем длину высоты $BH$, которую обозначим $h_b$. Используем формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_b$

$84 = 7 \cdot h_b$

$h_b = 12$ см.

2. Определим положение точки $H$ (основания высоты) на стороне $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$:

$13^2 = AH^2 + 12^2$

$169 = AH^2 + 144$

$AH^2 = 25$

$AH = 5$ см.

3. Определим положение точки $M$ (основания медианы). Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$:

$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

4. Теперь у нас есть положения точек на стороне $AC$: $A$, $H$, $M$, $C$. Длины отрезков на этой стороне: $AH = 5$ см, $AM = 7$ см, $MC = 7$ см. Отсюда находим длину отрезка $HM$:

$HM = AM - AH = 7 - 5 = 2$ см.

5. Исходный треугольник разделен на три треугольника: $\triangle ABH$, $\triangle HBM$ и $\triangle MBC$. Все они имеют общую высоту $BH = 12$ см, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Найдем их площади:

Площадь $\triangle ABH$ с основанием $AH=5$ см:

$S_{\triangle ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

Площадь $\triangle HBM$ с основанием $HM=2$ см:

$S_{\triangle HBM} = \frac{1}{2} \cdot HM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 12 = 12$ см².

Площадь $\triangle MBC$ с основанием $MC=7$ см:

$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 = 42$ см².

Проверим сумму площадей: $30 + 12 + 42 = 84$ см². Сумма совпадает с общей площадью треугольника.

Ответ: площади треугольников равны 30 см², 12 см² и 42 см².