Номер 539, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

539. Найдите стороны ромба, диагонали которого относятся как $m : n$, а площадь равна $S$.

Пусть стороны ромба равны $a$, а его диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Площадь ромба равна $S$.

По условию задачи, диагонали ромба относятся как $m:n$. Это можно записать в виде:

$\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$

Введем коэффициент пропорциональности $k > 0$. Тогда длины диагоналей можно выразить как:

$d_1 = mk$

$d_2 = nk$

Площадь ромба вычисляется по формуле через его диагонали:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$

Подставим в эту формулу выражения для $d_1$ и $d_2$ через $k$:

$S = \frac{1}{2}(mk)(nk) = \frac{1}{2}mnk^2$

Из этого соотношения выразим $k^2$:

$2S = mnk^2 \implies k^2 = \frac{2S}{mn}$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза является стороной ромба $a$.

По теореме Пифагора для одного из этих треугольников:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим в это уравнение выражения для $d_1$ и $d_2$ через $k$:

$a^2 = (\frac{mk}{2})^2 + (\frac{nk}{2})^2 = \frac{m^2k^2}{4} + \frac{n^2k^2}{4} = \frac{k^2(m^2 + n^2)}{4}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $k^2 = \frac{2S}{mn}$:

$a^2 = \frac{\frac{2S}{mn}(m^2 + n^2)}{4} = \frac{2S(m^2 + n^2)}{4mn} = \frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}$

Чтобы найти сторону $a$, извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$a = \sqrt{\frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}}$