Номер 546, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

546. Внутренняя точка треугольника со сторонами 4 см, 13 см, 15 см отстоит на 5 см от первой стороны и на 1 см от второй. Найдите ее расстояние от третьей стороны.

Пусть стороны треугольника равны $a = 4$ см, $b = 13$ см, и $c = 15$ см. Обозначим внутреннюю точку как $P$. Расстояния (длины перпендикуляров) от точки $P$ до этих сторон равны $h_a = 5$ см (до стороны $a$), $h_b = 1$ см (до стороны $b$), и $h_c$, которое нам нужно найти (расстояние до стороны $c$).

Ключевая идея для решения этой задачи заключается в использовании метода площадей. Площадь всего треугольника равна сумме площадей трех меньших треугольников, которые образуются при соединении внутренней точки $P$ с вершинами исходного треугольника. Основаниями этих меньших треугольников являются стороны $a$, $b$ и $c$, а высотами — соответствующие расстояния $h_a$, $h_b$ и $h_c$.

Таким образом, общая площадь треугольника $S$ может быть выражена формулой:
$S = S_a + S_b + S_c = \frac{1}{2} a h_a + \frac{1}{2} b h_b + \frac{1}{2} c h_c$

1. Найдем общую площадь треугольника.
Поскольку нам известны длины всех трех сторон, мы можем вычислить площадь $S$ по формуле Герона.
Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)}$
$S = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = \sqrt{576} = 24 \text{ см}^2$.

2. Найдем искомое расстояние.
Теперь, зная общую площадь, мы можем подставить все известные значения в уравнение для суммы площадей и найти неизвестное расстояние $h_c$:
$S = \frac{1}{2} (a h_a + b h_b + c h_c)$
$24 = \frac{1}{2} (4 \cdot 5 + 13 \cdot 1 + 15 \cdot h_c)$
$24 = \frac{1}{2} (20 + 13 + 15 h_c)$
$24 = \frac{1}{2} (33 + 15 h_c)$
Умножим обе части уравнения на 2:
$48 = 33 + 15 h_c$
Перенесем 33 в левую часть:
$15 h_c = 48 - 33$
$15 h_c = 15$
$h_c = \frac{15}{15} = 1$ см.

Таким образом, расстояние от внутренней точки до третьей стороны треугольника составляет 1 см.

Ответ: 1 см.