Номер 552, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

552. Одна сторона треугольника с площадью $S$ разделена на $n$ долей прямыми, параллельными другой стороне, и из обоих концов каждого из параллельных отрезков, заключенных между сторонами треугольника, опущены перпендикуляры на следующую прямую (рис. 397). Найдите площадь фигуры, образованной полученными прямоугольниками.

Рис. 397

Пусть исходный треугольник имеет площадь $S$, основание $b$ и высоту $h$. Тогда его площадь выражается формулой $S = \frac{1}{2}bh$.

Согласно условию задачи, одна из сторон треугольника разделена на $n$ долей прямыми, параллельными другой стороне. Будем считать эту другую сторону основанием треугольника длиной $b$. Проведение $n-1$ параллельных прямых таким образом, что они делят боковую сторону на $n$ равных отрезков, приводит к тому, что высота треугольника $h$ также делится на $n$ равных частей. Таким образом, мы получаем $n$ полос одинаковой высоты $\Delta h = \frac{h}{n}$.

Пронумеруем параллельные отрезки, заключенные между боковыми сторонами треугольника, от $1$ до $n-1$, начиная с самого верхнего (ближайшего к вершине). Обозначим длину $k$-го отрезка как $l_k$. Из теоремы о подобных треугольниках следует, что длина каждого отрезка пропорциональна его расстоянию от вершины. Расстояние от вершины до $k$-го отрезка составляет $k \cdot \Delta h = k \frac{h}{n}$.

Отношение длины $k$-го отрезка $l_k$ к длине основания $b$ равно отношению высоты малого треугольника (с основанием $l_k$) к высоте большого треугольника $h$:

$\frac{l_k}{b} = \frac{k \cdot (h/n)}{h} = \frac{k}{n}$

Отсюда находим длину $k$-го отрезка: $l_k = b \frac{k}{n}$.

Далее, по условию, из концов каждого $k$-го параллельного отрезка (для $k$ от $1$ до $n-1$) опускаются перпендикуляры на следующую, $(k+1)$-ю, параллельную прямую. Для отрезка $s_{n-1}$ перпендикуляры опускаются на основание треугольника. В результате этого построения образуется $n-1$ прямоугольник.

Рассмотрим $k$-й прямоугольник (считая сверху). Его ширина равна длине $k$-го параллельного отрезка $l_k$, а высота равна расстоянию между $k$-й и $(k+1)$-й параллельными прямыми, то есть $\Delta h$.

Площадь $k$-го прямоугольника, $S_k$, вычисляется как произведение его ширины на высоту:

$S_k = l_k \cdot \Delta h = \left(b \frac{k}{n}\right) \cdot \left(\frac{h}{n}\right) = \frac{bh}{n^2}k$

Чтобы найти общую площадь фигуры, образованной всеми прямоугольниками, $S_{общ}$, необходимо просуммировать площади всех $n-1$ прямоугольников:

$S_{общ} = \sum_{k=1}^{n-1} S_k = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{bh}{n^2}k$

Вынесем постоянный множитель $\frac{bh}{n^2}$ за знак суммы:

$S_{общ} = \frac{bh}{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} k$

Сумма первых $n-1$ натуральных чисел является суммой членов арифметической прогрессии и вычисляется по формуле: $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$.

Подставим это значение в выражение для общей площади:

$S_{общ} = \frac{bh}{n^2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{bh}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{n^2} = \frac{bh}{2} \cdot \frac{n-1}{n}$

Так как площадь исходного треугольника $S = \frac{1}{2}bh$, мы можем выразить итоговую площадь через $S$:

$S_{общ} = S \cdot \frac{n-1}{n}$

Ответ: $S \frac{n-1}{n}$