Номер 553, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

553. Определите, в каком отношении, если считать от вершины, нужно разделить сторону треугольника двумя прямыми, параллельными другой стороне, чтобы треугольник разделился на равновеликие части.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$ с площадью $S$. Проведем две прямые, параллельные стороне $BC$, которые пересекают сторону $AB$ в точках $D_1$ и $D_2$, и сторону $AC$ в точках $E_1$ и $E_2$. Будем считать от вершины $A$, так что точка $D_1$ лежит между $A$ и $D_2$. Прямые $D_1E_1$ и $D_2E_2$ делят треугольник $\triangle ABC$ на три равновеликие (имеющие равные площади) части: верхний треугольник $\triangle AD_1E_1$, среднюю трапецию $D_1D_2E_2E_1$ и нижнюю трапецию $D_2BCE_2$.

По условию, площади этих трех частей равны. Следовательно, площадь каждой части составляет $\frac{S}{3}$.

1. Найдем соотношение площадей.

Площадь верхнего треугольника $\triangle AD_1E_1$ равна $S_1 = \frac{S}{3}$.

Площадь треугольника $\triangle AD_2E_2$ складывается из площади $\triangle AD_1E_1$ и площади трапеции $D_1D_2E_2E_1$. Таким образом, его площадь $S_2 = \frac{S}{3} + \frac{S}{3} = \frac{2S}{3}$.

Площадь исходного треугольника $\triangle ABC$ равна $S$.

2. Используем свойство подобных треугольников.

Поскольку прямые $D_1E_1$ и $D_2E_2$ параллельны стороне $BC$, то треугольники $\triangle AD_1E_1$, $\triangle AD_2E_2$ и $\triangle ABC$ подобны друг другу.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (который, в свою очередь, равен отношению соответствующих сторон).

Рассмотрим отношение площадей $\triangle AD_1E_1$ и $\triangle ABC$:

$\frac{S_{\triangle AD_1E_1}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{AD_1}{AB}\right)^2$

Подставим известные значения площадей:

$\frac{S/3}{S} = \frac{1}{3} = \left(\frac{AD_1}{AB}\right)^2$

Отсюда находим отношение сторон:

$\frac{AD_1}{AB} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Следовательно, $AD_1 = \frac{AB}{\sqrt{3}}$.

Теперь рассмотрим отношение площадей $\triangle AD_2E_2$ и $\triangle ABC$:

$\frac{S_{\triangle AD_2E_2}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{AD_2}{AB}\right)^2$

Подставим известные значения площадей:

$\frac{2S/3}{S} = \frac{2}{3} = \left(\frac{AD_2}{AB}\right)^2$

Отсюда находим отношение сторон:

$\frac{AD_2}{AB} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Следовательно, $AD_2 = \frac{\sqrt{2} \cdot AB}{\sqrt{3}}$.

3. Найдем искомое отношение отрезков.

Сторона $AB$ разделена точками $D_1$ и $D_2$ на три отрезка: $AD_1$, $D_1D_2$ и $D_2B$. Нам нужно найти отношение их длин $AD_1 : D_1D_2 : D_2B$.

Первый отрезок: $AD_1 = \frac{AB}{\sqrt{3}}$.

Второй отрезок: $D_1D_2 = AD_2 - AD_1 = \frac{\sqrt{2} \cdot AB}{\sqrt{3}} - \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}-1)AB}{\sqrt{3}}$.

Третий отрезок: $D_2B = AB - AD_2 = AB - \frac{\sqrt{2} \cdot AB}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot AB - \sqrt{2} \cdot AB}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})AB}{\sqrt{3}}$.

Теперь составим отношение длин этих отрезков:

$AD_1 : D_1D_2 : D_2B = \frac{AB}{\sqrt{3}} : \frac{(\sqrt{2}-1)AB}{\sqrt{3}} : \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})AB}{\sqrt{3}}$

Сократив общий множитель $\frac{AB}{\sqrt{3}}$, получаем искомое отношение:

$1 : (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{3}-\sqrt{2})$

Ответ: Сторону треугольника, считая от вершины, нужно разделить в отношении $1 : (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{3}-\sqrt{2})$.