Номер 549, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

549. На сторонах прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ построены квадраты, а их свободные вершины соединены (рис. 395). Найдите площадь полученного шестиугольника.

Рис. 395

Для нахождения площади полученного шестиугольника рассмотрим его как фигуру, составленную из нескольких более простых геометрических фигур, или как большую фигуру, из которой вырезали части.

Способ 1: Метод декомпозиции

Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой шестиугольник, который можно разложить на четыре части:

• Квадрат, построенный на катете $a$. Его площадь равна $S_1 = a^2$.
• Квадрат, построенный на катете $b$. Его площадь равна $S_2 = b^2$.
• Исходный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Его площадь равна $S_3 = \frac{1}{2}ab$.
• Второй треугольник, расположенный над гипотенузой исходного треугольника.

Докажем, что площадь второго треугольника также равна $\frac{1}{2}ab$. Этот треугольник имеет общую сторону с исходным треугольником — гипотенузу. Две другие его стороны соединяют вершины исходного треугольника с соответствующими свободными вершинами квадратов. Можно показать, что этот треугольник конгруэнтен исходному. Таким образом, его площадь $S_4 = \frac{1}{2}ab$.

Тогда общая площадь шестиугольника будет суммой площадей этих четырех фигур:

$S_{шестиугольника} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$.

Способ 2: Метод дополнения до прямоугольника (квадрата)

Этот метод является более строгим, так как не делает предположений о форме "верхнего" треугольника, а исходит из интерпретации построения фигуры.

1. Разместим исходный прямоугольный треугольник в системе координат. Пусть вершина с прямым углом находится в начале координат $C(0,0)$. Катет $a$ расположим вдоль оси $Oy$, а катет $b$ — вдоль оси $Ox$. Тогда вершины треугольника будут иметь координаты $C(0,0)$, $A(0,a)$ и $B(b,0)$.

2. На катете $AC$ (длиной $a$) построен квадрат "наружу", то есть влево. Его вершины: $A(0,a)$, $C(0,0)$, $D(-a,0)$ и $E(-a,a)$.

3. На катете $BC$ (длиной $b$) построен квадрат "наружу", то есть вниз. Его вершины: $B(b,0)$, $C(0,0)$, $F(b,-b)$ и $G(0,-b)$.

4. Полученный шестиугольник образован внешними вершинами этой конструкции. Его вершины в порядке обхода: $E(-a,a)$, $A(0,a)$, $B(b,0)$, $F(b,-b)$, $G(0,-b)$, $D(-a,0)$.

5. Чтобы найти площадь этого шестиугольника, впишем его в больший прямоугольник (в данном случае — квадрат).
Минимальная координата по $x$ равна $-a$, максимальная — $b$. Ширина прямоугольника: $b - (-a) = a+b$.
Минимальная координата по $y$ равна $-b$, максимальная — $a$. Высота прямоугольника: $a - (-b) = a+b$.
Таким образом, шестиугольник вписан в квадрат со стороной $(a+b)$. Площадь этого квадрата: $S_{квадрата} = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

6. Шестиугольник не занимает весь квадрат. В двух углах квадрата остаются два "пустых" прямоугольных треугольника.
- Верхний правый треугольник: его вершины — $(b,a)$ (вершина квадрата), $(0,a)$ и $(b,0)$ (вершины шестиугольника). Катеты этого треугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S_{T1} = \frac{1}{2}ab$.
- Нижний левый треугольник: его вершины — $(-a,-b)$ (вершина квадрата), $(-a,0)$ и $(0,-b)$ (вершины шестиугольника). Катеты этого треугольника также равны $a$ и $b$. Его площадь $S_{T2} = \frac{1}{2}ab$.

7. Площадь шестиугольника равна площади описанного квадрата минус площади двух "пустых" треугольников:

$S_{шестиугольника} = S_{квадрата} - S_{T1} - S_{T2} = (a^2 + 2ab + b^2) - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}ab = a^2 + 2ab + b^2 - ab = a^2 + b^2 + ab$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $a^2 + b^2 + ab$.