Номер 547, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

547. Найдите стороны треугольника, учитывая, что отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами треугольника, разделяют его на треугольники с площадями $12 \text{ см}^2$, $39 \text{ см}^2$ и $45 \text{ см}^2$.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Центр вписанной окружности, или инцентр, равноудален от всех сторон треугольника. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности $r$.

Отрезки, соединяющие инцентр с вершинами, делят исходный треугольник на три меньших треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны $a, b, c$ исходного треугольника, а их общей высотой, проведенной к этим основаниям, является радиус вписанной окружности $r$.

Площади этих трех треугольников ($S_1, S_2, S_3$) можно выразить через стороны и радиус вписанной окружности:

$S_1 = \frac{1}{2}ar = 12 \text{ см}^2$

$S_2 = \frac{1}{2}br = 39 \text{ см}^2$

$S_3 = \frac{1}{2}cr = 45 \text{ см}^2$

Из этих соотношений видно, что стороны треугольника пропорциональны площадям соответствующих малых треугольников:

$a : b : c = S_1 : S_2 : S_3 = 12 : 39 : 45$

Упростим это соотношение, разделив все его части на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$a : b : c = (12 \div 3) : (39 \div 3) : (45 \div 3) = 4 : 13 : 15$

Таким образом, длины сторон можно представить в виде $a = 4k$, $b = 13k$ и $c = 15k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Полная площадь исходного треугольника $S$ равна сумме площадей трех малых треугольников:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 12 + 39 + 45 = 96 \text{ см}^2$

Найдем полупериметр $p$ треугольника через коэффициент $k$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4k+13k+15k}{2} = \frac{32k}{2} = 16k$

Теперь воспользуемся формулой Герона для площади треугольника, чтобы найти значение $k$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Подставим известные значения:

$96 = \sqrt{16k(16k-4k)(16k-13k)(16k-15k)}$

$96 = \sqrt{16k \cdot 12k \cdot 3k \cdot k}$

$96 = \sqrt{(16 \cdot 12 \cdot 3)k^4}$

$96 = \sqrt{576k^4}$

$96 = 24k^2$

Отсюда находим $k^2$:

$k^2 = \frac{96}{24} = 4$

Так как длина стороны должна быть положительной, $k = \sqrt{4} = 2$.

Теперь, зная $k$, мы можем найти длины сторон треугольника:

$a = 4k = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$

$b = 13k = 13 \cdot 2 = 26 \text{ см}$

$c = 15k = 15 \cdot 2 = 30 \text{ см}$

Ответ: стороны треугольника равны 8 см, 26 см и 30 см.