Номер 541, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

541. На сторонах $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ выбраны соответственно такие точки $M$ и $N$, что $AM : MB = k$ и $AN : ND = l$. Найдите, какую часть площади параллелограмма $ABCD$ составляет площадь четырехугольника $AMPN$, учитывая, что $P$ — точка пересечения прямых $BN$ и $DM$.

Обозначим площадь параллелограмма $ABCD$ как $S_{ABCD}$. Площадь четырехугольника $AMPN$ можно найти, разбив его диагональю $AP$ на два треугольника: $\triangle AMP$ и $\triangle ANP$. Таким образом, $S_{AMPN} = S_{AMP} + S_{ANP}$. Мы найдем площади этих треугольников поочередно.

Для решения задачи воспользуемся методом, основанным на отношениях площадей треугольников и теореме Менелая.

1. Нахождение вспомогательных площадей

Площадь треугольника $ABD$ составляет половину площади параллелограмма: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Из условия $AM : MB = k$, следует, что $\frac{AM}{MB} = k$. Тогда $AB = AM + MB = AM + \frac{AM}{k} = AM \frac{k+1}{k}$, откуда $\frac{AM}{AB} = \frac{k}{k+1}$.

Треугольники $ADM$ и $ABD$ имеют общую высоту из вершины $D$. Следовательно, их площади относятся как основания:

$S_{ADM} = \frac{AM}{AB} S_{ABD} = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Аналогично, из условия $AN : ND = l$ следует, что $\frac{AN}{ND} = l$. Тогда $AD = AN + ND = AN + \frac{AN}{l} = AN \frac{l+1}{l}$, откуда $\frac{AN}{AD} = \frac{l}{l+1}$.

Треугольники $ABN$ и $ABD$ имеют общую высоту из вершины $B$. Следовательно, их площади относятся как основания:

$S_{ABN} = \frac{AN}{AD} S_{ABD} = \frac{l}{l+1} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD}$

2. Применение теоремы Менелая

Точка $P$ является точкой пересечения прямых $BN$ и $DM$. Найдем, в каком отношении точка $P$ делит отрезки $DM$ и $BN$.

Рассмотрим $\triangle ADM$ и секущую $BPN$. По теореме Менелая:

$\frac{AN}{ND} \cdot \frac{DP}{PM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1$

Из условий задачи и предыдущих выкладок имеем:

$\frac{AN}{ND} = l$

$\frac{MB}{AB} = \frac{MB}{AM+MB} = \frac{MB}{k \cdot MB + MB} = \frac{1}{k+1}$

Подставляя эти значения в теорему Менелая:

$l \cdot \frac{DP}{PM} \cdot \frac{1}{k+1} = 1 \implies \frac{DP}{PM} = \frac{k+1}{l}$

Теперь рассмотрим $\triangle ABN$ и секущую $DPM$. По теореме Менелая:

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{ND}{DA} = 1$

Из условий задачи имеем:

$\frac{AM}{MB} = k$

$\frac{ND}{DA} = \frac{ND}{AN+ND} = \frac{ND}{l \cdot ND + ND} = \frac{1}{l+1}$

Подставляя эти значения:

$k \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{1}{l+1} = 1 \implies \frac{BP}{PN} = \frac{l+1}{k}$

3. Вычисление площади $S_{AMPN}$

Теперь мы можем вычислить площади треугольников $\triangle AMP$ и $\triangle ANP$.

Треугольники $\triangle AMP$ и $\triangle ADM$ имеют общую вершину $A$, а их основания $PM$ и $DM$ лежат на одной прямой. Отношение их площадей равно отношению оснований:

$\frac{S_{AMP}}{S_{ADM}} = \frac{PM}{DM}$

Из соотношения $\frac{DP}{PM} = \frac{k+1}{l}$ следует, что $DM = DP + PM = \frac{k+1}{l} PM + PM = PM \frac{k+1+l}{l}$. Отсюда $\frac{PM}{DM} = \frac{l}{k+l+1}$.

$S_{AMP} = \frac{l}{k+l+1} S_{ADM} = \frac{l}{k+l+1} \cdot \frac{k}{k+1} \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{kl}{2(k+1)(k+l+1)} S_{ABCD}$

Аналогично для треугольников $\triangle ANP$ и $\triangle ABN$, которые имеют общую вершину $A$ и основания $PN$ и $BN$ на одной прямой:

$\frac{S_{ANP}}{S_{ABN}} = \frac{PN}{BN}$

Из соотношения $\frac{BP}{PN} = \frac{l+1}{k}$ следует, что $BN = BP + PN = \frac{l+1}{k} PN + PN = PN \frac{l+1+k}{k}$. Отсюда $\frac{PN}{BN} = \frac{k}{k+l+1}$.

$S_{ANP} = \frac{k}{k+l+1} S_{ABN} = \frac{k}{k+l+1} \cdot \frac{l}{l+1} \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{kl}{2(l+1)(k+l+1)} S_{ABCD}$

4. Итоговый результат

Суммируем площади двух треугольников, чтобы найти площадь четырехугольника $AMPN$:

$S_{AMPN} = S_{AMP} + S_{ANP} = \left( \frac{kl}{2(k+1)(k+l+1)} + \frac{kl}{2(l+1)(k+l+1)} \right) S_{ABCD}$

$S_{AMPN} = \frac{kl}{2(k+l+1)} \left( \frac{1}{k+1} + \frac{1}{l+1} \right) S_{ABCD}$

$S_{AMPN} = \frac{kl}{2(k+l+1)} \left( \frac{l+1+k+1}{(k+1)(l+1)} \right) S_{ABCD}$

$S_{AMPN} = \frac{kl(k+l+2)}{2(k+1)(l+1)(k+l+1)} S_{ABCD}$

Таким образом, искомая часть, которую площадь четырехугольника $AMPN$ составляет от площади параллелограмма $ABCD$, равна:

$\frac{S_{AMPN}}{S_{ABCD}} = \frac{kl(k+l+2)}{2(k+1)(l+1)(k+l+1)}$

Ответ: $\frac{kl(k+l+2)}{2(k+1)(l+1)(k+l+1)}$