Номер 536, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

536. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что одна из них относится к его диагонали как $5 : 13$, а диагональ квадрата, равновеликого прямоугольнику, равна $4\sqrt{30}$ см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ — $d_r$. Пусть площадь квадрата будет $S_{кв}$, а его диагональ $d_s = 4\sqrt{30}$ см.

Термин "равновеликий" означает, что площади фигур равны. Следовательно, площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна площади квадрата $S_{кв}$.

1. Найдем площадь квадрата. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$: $S_{кв} = \frac{(d_s)^2}{2} = \frac{(4\sqrt{30})^2}{2} = \frac{16 \cdot 30}{2} = \frac{480}{2} = 240$ см².

2. Так как площади фигур равны, то площадь прямоугольника также составляет 240 см²: $S_{пр} = a \cdot b = 240$.

3. По условию, одна из сторон прямоугольника (пусть это будет сторона $a$) относится к его диагонали $d_r$ как 5 : 13. $\frac{a}{d_r} = \frac{5}{13}$ Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $a = 5x$ и $d_r = 13x$.

4. В прямоугольнике стороны и диагональ связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d_r^2$. Подставим в это соотношение выражения для $a$ и $d_r$, чтобы найти сторону $b$: $(5x)^2 + b^2 = (13x)^2$ $25x^2 + b^2 = 169x^2$ $b^2 = 169x^2 - 25x^2$ $b^2 = 144x^2$ $b = \sqrt{144x^2} = 12x$ (длина стороны является положительной величиной).

5. Теперь мы можем выразить площадь прямоугольника через $x$: $S_{пр} = a \cdot b = (5x) \cdot (12x) = 60x^2$.

6. Приравняем полученное выражение для площади к известному значению и найдем $x$: $60x^2 = 240$ $x^2 = \frac{240}{60}$ $x^2 = 4$ $x = 2$.

7. Зная значение $x$, найдем стороны прямоугольника: $a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см $b = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см.