Номер 535, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

535. Опишите способ разделения:

а) треугольника на два равновеликих треугольника одной прямой;

б) параллелограмма двумя прямыми, которые проходят через произвольную точку на его диагонали, так, что части, расположенные по разные стороны диагонали, попарно равновелики;

в) прямоугольника на равновеликие фигуры прямой, не проходящей через вершину.

а) треугольника на два равновеликих треугольника одной прямой;

Чтобы разделить треугольник на два равновеликих (то есть имеющих равные площади) треугольника одной прямой, необходимо провести медиану этого треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем любую его сторону, например $BC$, и найдем ее середину — точку $M$. Прямая, содержащая медиану $AM$, разделит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

Докажем, что их площади равны. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

Площадь $\triangle ABM$ равна $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AH$.

Площадь $\triangle ACM$ равна $S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot AH$.

Поскольку $M$ — середина стороны $BC$, то длины отрезков $BM$ и $CM$ равны. Следовательно, и площади треугольников равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM}$.

Ответ: Нужно провести любую медиану треугольника. Прямая, содержащая медиану, разделит треугольник на два равновеликих треугольника.

б) параллелограмма двумя прямыми, которые проходят через произвольную точку на его диагонали, так, что части, расположенные по разные стороны диагонали, попарно равновелики;

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ и произвольная точка $P$, лежащая на его диагонали $AC$. Чтобы разделить параллелограмм требуемым образом, необходимо провести через точку $P$ две прямые, каждая из которых параллельна одной из пар сторон параллелограмма. Пусть одна прямая, проходящая через $P$, параллельна $AB$ и пересекает $AD$ и $BC$ в точках $G$ и $H$. Вторая прямая, проходящая через $P$, параллельна $AD$ и пересекает $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$.

Эти две прямые ($GH$ и $EF$) разделят исходный параллелограмм $ABCD$ на четыре меньших параллелограмма: $AEPG$, $EBHP$, $HCFP$ и $GPFD$.

Диагональ $AC$ исходного параллелограмма проходит через общую вершину $P$ этих четырех параллелограммов и делит их на части. Рассмотрим эти части, расположенные по разные стороны от диагонали $AC$.

1. Диагональ $AC$ является также диагональю для параллелограммов $AEPG$ и $HCFP$. Любая диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника. Следовательно, $S_{\triangle APE} = S_{\triangle APG}$ и $S_{\triangle PCH} = S_{\triangle PCF}$. Эти треугольники лежат по разные стороны от диагонали $AC$, образуя две пары равновеликих фигур.

2. Рассмотрим два оставшихся параллелограмма $EBHP$ и $GPFD$. Они расположены по разные стороны от диагонали $AC$. Докажем, что их площади равны. Площадь большого треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей его частей: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle APE} + S_{EBHP} + S_{\triangle PCH}$. Площадь большого треугольника $\triangle ADC$ равна: $S_{\triangle ADC} = S_{\triangle APG} + S_{GPFD} + S_{\triangle PCF}$.

Поскольку диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника, то $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$. Приравнивая выражения для их площадей, получаем: $S_{\triangle APE} + S_{EBHP} + S_{\triangle PCH} = S_{\triangle APG} + S_{GPFD} + S_{\triangle PCF}$.

Так как мы уже установили, что $S_{\triangle APE} = S_{\triangle APG}$ и $S_{\triangle PCH} = S_{\triangle PCF}$, мы можем вычесть эти равные площади из обеих частей равенства. В результате получим: $S_{EBHP} = S_{GPFD}$. Таким образом, параллелограммы $EBHP$ и $GPFD$ также образуют пару равновеликих фигур, расположенных по разные стороны диагонали.

Ответ: Через произвольную точку на диагонали следует провести две прямые, параллельные сторонам параллелограмма.

в) прямоугольника на равновеликие фигуры прямой, не проходящей через вершину.

Для разделения прямоугольника на две равновеликие фигуры следует использовать его свойство центральной симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам.

Сначала нужно найти центр симметрии прямоугольника — это точка $O$, в которой пересекаются его диагонали. Затем через точку $O$ проводится любая прямая $l$. Эта прямая разделит прямоугольник на две фигуры равной площади.

Доказательство этого факта основано на том, что при центральной симметрии относительно точки $O$ (повороте на $180^\circ$) прямоугольник переходит сам в себя, и прямая $l$, проходящая через центр $O$, также переходит сама в себя. При этом одна из полученных частей ($F_1$) переходит в другую ($F_2$). Поскольку симметрия является движением и сохраняет площадь, площади фигур равны: $S_{F_1} = S_{F_2}$.

Условие, что прямая не проходит через вершину, выполняется, если проведенная прямая не совпадает ни с одной из диагоналей. В этом случае прямая пересечет две противоположные стороны прямоугольника, разделив его на две равные (и, следовательно, равновеликие) трапеции.

Ответ: Нужно найти точку пересечения диагоналей прямоугольника и провести через нее любую прямую, которая не является диагональю.