Номер 528, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

528*. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, боковые грани которой наклонены к плоскости основания под углом в $60^\circ$, а сторона основания равна:

а) 12 см;

б) 18 см;

в) $l$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. В основании лежит правильный треугольник со стороной $a$. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\alpha = 60^\circ$. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и является точкой, равноудаленной от плоскости основания и всех боковых граней.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее высоту $SO$ и апофему $SM$ (где $S$ - вершина, $O$ - центр основания, $M$ - середина стороны основания). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$, в котором $\angle SOM = 90^\circ$. Угол наклона боковой грани к основанию — это двугранный угол при ребре основания, который равен линейному углу $\angle SMO = 60^\circ$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара $r$, то есть $IO = r$. Так как шар также касается боковой грани, то расстояние от его центра $I$ до плоскости боковой грани (и, следовательно, до апофемы $SM$, лежащей в этой грани и в плоскости сечения) также равно радиусу $r$.

Точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$ с прямым углом при вершине $O$. Угол $\angle IMO$ равен половине угла $\angle SMO$: $\angle IMO = \frac{\angle SMO}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В треугольнике $IOM$ катет $IO$ — это искомый радиус вписанного шара $r$, а катет $OM$ — это радиус окружности, вписанной в треугольник основания. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$ Отсюда, $r = IO = OM \cdot \tan(30^\circ)$.

Радиус $OM$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь подставим найденное значение $OM$ и значение $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ в формулу для $r$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{6}$. Мы получили общую формулу для радиуса вписанного шара в данной пирамиде. Теперь решим задачу для каждого из заданных случаев.

а)

Сторона основания $a = 12$ см. Найдем радиус вписанного шара по выведенной формуле $r = \frac{a}{6}$: $r = \frac{12}{6} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

б)

Сторона основания $a = 18$ см. Найдем радиус вписанного шара по формуле $r = \frac{a}{6}$: $r = \frac{18}{6} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

в)

Сторона основания $a = l$. Найдем радиус вписанного шара по формуле $r = \frac{a}{6}$: $r = \frac{l}{6}$.

Ответ: $\frac{l}{6}$.