Номер 526, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

526*: Докажите, что на высоте правильной пирамиды лежит центр:

а) описанного около нее шара;

б) вписанного в нее шара.

а) описанного около нее шара

Пусть дана правильная n-угольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $A_1A_2...A_n$. Пусть $O$ — центр основания. По определению правильной пирамиды, ее высота — это отрезок $SO$, перпендикулярный плоскости основания. Шар называется описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности этого шара. Пусть $O_s$ — центр описанного шара, а $R$ — его радиус.

По определению, центр описанного шара равноудален от всех его вершин. Следовательно, расстояния от точки $O_s$ до всех вершин пирамиды равны:

$O_sS = O_sA_1 = O_sA_2 = ... = O_sA_n = R$

Из равенств $O_sA_1 = O_sA_2 = ... = O_sA_n$ следует, что точка $O_s$ равноудалена от всех вершин основания $A_1A_2...A_n$.

Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от вершин некоторого многоугольника, является прямая, которая перпендикулярна плоскости этого многоугольника и проходит через центр окружности, описанной около него.

Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник $A_1A_2...A_n$. Центр описанной около него окружности совпадает с его геометрическим центром — точкой $O$.

Высота правильной пирамиды $SO$ по определению перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр $O$. Таким образом, прямая, содержащая высоту $SO$, и есть то самое геометрическое место точек, равноудаленных от вершин основания.

Следовательно, центр описанного шара $O_s$ должен лежать на прямой, содержащей высоту пирамиды $SO$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) вписанного в нее шара

Пусть дана та же правильная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается всех ее граней (основания и всех боковых граней). Пусть $O_i$ — центр вписанного шара, а $r$ — его радиус.

По определению, центр вписанного шара равноудален от плоскостей всех граней пирамиды. Пусть $\pi_0$ — плоскость основания, а $\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n$ — плоскости боковых граней.

Рассмотрим боковые грани. Так как пирамида правильная, все ее боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками и образуют одинаковые двугранные углы с плоскостью основания. Также равны и двугранные углы между соседними боковыми гранями.

Центр вписанного шара $O_i$ равноудален от плоскостей всех боковых граней $\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n$. Рассмотрим прямую $SO$, содержащую высоту. Эта прямая является осью симметрии пирамиды. Любая точка на оси симметрии $SO$ равноудалена от всех боковых граней.

Докажем это. Пусть $P$ — любая точка на прямой $SO$. Рассмотрим поворот вокруг оси $SO$ на угол $\frac{2\pi}{n}$. Этот поворот является движением (сохраняет расстояния), оставляет точку $P$ на месте (так как она лежит на оси вращения) и переводит боковую грань $\pi_k$ в боковую грань $\pi_{k+1}$. Тогда расстояние от точки $P$ до плоскости $\pi_k$ равно расстоянию от образа точки $P$ (то есть самой точки $P$) до образа плоскости $\pi_k$ (то есть плоскости $\pi_{k+1}$). Таким образом, $d(P, \pi_k) = d(P, \pi_{k+1})$ для всех $k=1, ..., n-1$. Это означает, что любая точка на прямой $SO$ равноудалена от всех боковых граней.

Геометрическое место точек, равноудаленных от всех боковых граней правильной пирамиды, — это ее ось, то есть прямая $SO$.

Поскольку центр вписанного шара $O_i$ по определению равноудален от всех боковых граней, он обязан лежать на этой прямой $SO$.

Так как прямая $SO$ содержит высоту пирамиды, доказано, что центр вписанного шара лежит на высоте правильной пирамиды.

Ответ: Что и требовалось доказать.