Номер 527, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

527*. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, у которой:

а) боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в $60^\circ$, а радиус окружности, описанной около основания, — 4 см;

б) сторона основания равна $a$ и высота — $h$;

в) боковые ребра составляют с плоскостью основания угол в $60^\circ$, а сторона основания равна $a$;

г) плоский угол при вершине равен $\alpha$, а сторона основания — $a$.

Пусть `r` — радиус вписанного шара, `H` — высота правильной треугольной пирамиды, `r_{осн}` — радиус окружности, вписанной в основание, `A` — апофема пирамиды (высота боковой грани), а `β` — двугранный угол при ребре основания.

Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды. Радиус вписанного шара можно найти через параметры пирамиды. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему. Это сечение представляет собой треугольник, в который вписан большой круг шара. Радиус этого круга равен радиусу шара `r`.

Существует две основные формулы для нахождения радиуса `r`:

1. Через высоту и радиус основания: $r = \frac{H \cdot r_{осн}}{A + r_{осн}}$, где апофема $A = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2}$.
2. Через двугранный угол при основании: $r = r_{осн} \tan(\frac{β}{2})$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой `H`, радиусом `r_{осн}` и апофемой `A`, угол `β` противоположен катету `H`, поэтому $\tan(β) = \frac{H}{r_{осн}}$.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Если сторона этого треугольника равна `a_{осн}`, то радиус вписанной окружности $r_{осн} = \frac{a_{осн}}{2\sqrt{3}}$, а радиус описанной окружности $R_{осн} = \frac{a_{осн}}{\sqrt{3}}$. Отсюда следует, что $R_{осн} = 2r_{осн}$.

Решим каждый пункт задачи, используя эти соотношения.

Дано: боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $β = 60°$, а радиус окружности, описанной около основания, $R_{осн} = 4$ см.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в основание: $r_{осн} = \frac{R_{осн}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Воспользуемся формулой, связывающей радиус вписанного шара с двугранным углом при основании: $r = r_{осн} \tan(\frac{β}{2})$

3. Подставим известные значения: $r = 2 \cdot \tan(\frac{60°}{2}) = 2 \cdot \tan(30°) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Дано: сторона основания равна `a`, высота — `h`.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в основание со стороной `a`: $r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

2. Высота пирамиды дана: $H = h$.

3. Найдем апофему пирамиды `A`: $A = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2} = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} = \sqrt{\frac{12h^2 + a^2}{12}} = \frac{\sqrt{12h^2 + a^2}}{2\sqrt{3}}$.

4. Воспользуемся формулой $r = \frac{H \cdot r_{осн}}{A + r_{осн}}$: $r = \frac{h \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{12h^2 + a^2}}{2\sqrt{3}} + \frac{a}{2\sqrt{3}}}$

5. Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $2\sqrt{3}$: $r = \frac{ah}{\sqrt{12h^2 + a^2} + a}$.

Ответ: $r = \frac{ah}{a + \sqrt{a^2 + 12h^2}}$.

Дано: боковые ребра составляют с плоскостью основания угол $γ = 60°$, а сторона основания равна `a`.

1. Найдем радиусы вписанной и описанной окружностей основания: $r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Угол `γ` — это угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом `R_{осн}`). Высоту пирамиды `H` можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и радиусом `R_{осн}`: $\tan(γ) = \frac{H}{R_{осн}} \implies H = R_{осн} \tan(γ)$.

3. Подставим значения: $H = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \tan(60°) = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = a$.

4. Найдем апофему `A`: $A = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$.

5. Воспользуемся формулой $r = \frac{H \cdot r_{осн}}{A + r_{осн}}$: $r = \frac{a \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} + \frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{a^2}{2\sqrt{3}}}{\frac{a(\sqrt{13} + 1)}{2\sqrt{3}}} = \frac{a^2}{a(\sqrt{13} + 1)} = \frac{a}{\sqrt{13} + 1}$.

6. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{a(\sqrt{13} - 1)}{(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1)} = \frac{a(\sqrt{13} - 1)}{13 - 1} = \frac{a(\sqrt{13} - 1)}{12}$.

Ответ: $r = \frac{a(\sqrt{13} - 1)}{12}$.

Дано: плоский угол при вершине равен `α`, а сторона основания — `a`.

1. Радиус вписанной в основание окружности: $r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

2. Рассмотрим боковую грань. Это равнобедренный треугольник с основанием `a` и углом `α` при вершине. Апофема `A` является высотой этой грани, опущенной на сторону `a`. Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром, находим: $\tan(\frac{α}{2}) = \frac{a/2}{A} \implies A = \frac{a}{2\tan(\frac{α}{2})}$.

3. Двугранный угол при основании `β` связан с `A` и `r_{осн}` соотношением $\cos(β) = \frac{r_{осн}}{A}$. $\cos(β) = \frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{2\tan(\frac{α}{2})}} = \frac{\tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3}}$.

4. Для нахождения радиуса вписанного шара воспользуемся формулой $r = r_{осн} \tan(\frac{β}{2})$. Выразим $\tan(\frac{β}{2})$ через $\cos(β)$ по формуле понижения степени: $\tan^2(\frac{β}{2}) = \frac{1 - \cos(β)}{1 + \cos(β)}$. $\tan(\frac{β}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{\tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3} - \tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3} + \tan(\frac{α}{2})}}$. (Условие существования пирамиды $3\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) > 0$ или $\tan^2(\frac{\alpha}{2}) < 3$, что обеспечивает положительность подкоренного выражения).

5. Подставляем найденные значения в формулу для `r`: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \sqrt{\frac{\sqrt{3} - \tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3} + \tan(\frac{α}{2})}}$.

6. Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель под корнем на $(\sqrt{3} - \tan(\frac{α}{2}))$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - \tan(\frac{α}{2}))^2}{(\sqrt{3})^2 - \tan^2(\frac{α}{2})}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3} - \tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3 - \tan^2(\frac{α}{2})}}$.

Ответ: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3} - \tan(\frac{α}{2})}{\sqrt{3 - \tan^2(\frac{α}{2})}}$.