Номер 522, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

522*. Около правильной четырехугольной пирамиды описан шар. Найдите радиус этого шара, учитывая, что сторона основания равна:

а) 6 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в $60^\circ$;

б) $2a$, а боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в $60^\circ$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды $SO$, где $O$ - центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$). Обозначим радиус описанного шара через $R$, высоту пирамиды $SO$ через $H$, а боковое ребро (например, $SA$) через $l$.

Все вершины пирамиды лежат на поверхности шара, поэтому центр шара $K$ равноудален от всех вершин. В частности, $KA = KS = R$. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. В этом сечении мы получаем равнобедренный треугольник $ASC$. Центр $K$ описанного шара является центром окружности, описанной около треугольника $ASC$.

Радиус $R$ можно найти по формуле, связывающей его с элементами пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $KA$, отрезком $AO$ (половина диагонали основания) и отрезком $KO$. Точка $K$ лежит на высоте $SO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOK$ по теореме Пифагора: $KA^2 = AO^2 + KO^2$. Учитывая, что $KA=R$ и $KO = |SO - SK| = |H - R|$, получаем: $R^2 = AO^2 + (H - R)^2$ $R^2 = AO^2 + H^2 - 2HR + R^2$ $2HR = AO^2 + H^2$

Поскольку в прямоугольном треугольнике $\triangle ASO$ по теореме Пифагора $l^2 = SA^2 = AO^2 + SO^2 = AO^2 + H^2$, то $2HR = l^2$. Отсюда получаем формулу для радиуса описанного шара: $R = \frac{AO^2 + H^2}{2H}$ или $R = \frac{l^2}{2H}$

а)

Дано, что сторона основания равна 6 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°.

Пусть сторона основания (квадрата) $AB = 6$ см. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на основание $AO$, то есть $\angle SAO = 60^\circ$.

1. Найдем половину диагонали основания $AO$. Диагональ квадрата $AC = AB \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см. $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H = SO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ASO$: $H = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = 3\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

3. Найдем квадрат длины бокового ребра $l^2 = SA^2$. Из того же треугольника $\triangle ASO$: $l^2 = AO^2 + H^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{6})^2 = 18 + 54 = 72$ см$^2$.

4. Теперь вычислим радиус описанного шара $R$ по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$: $R = \frac{72}{2 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{72}{6\sqrt{6}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

б)

Дано, что сторона основания равна 2a, а боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в 60°.

Пусть сторона основания $AB = 2a$. Угол наклона боковой грани (например, $SBC$) к плоскости основания — это двугранный угол. Его мерой является линейный угол $\angle SMO$, где $M$ — середина ребра $BC$, $SM$ — апофема боковой грани, а $OM$ — проекция апофемы на основание. Таким образом, $\angle SMO = 60^\circ$.

1. Найдем длину отрезка $OM$. Так как $O$ — центр квадрата, а $M$ — середина стороны $BC$, то $OM$ равен половине стороны $AB$: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 2a = a$.

2. Найдем высоту пирамиды $H = SO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SMO$: $H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = a \cdot \tan(60^\circ) = a\sqrt{3}$.

3. Для нахождения радиуса $R$ нам понадобится $AO$. Диагональ основания $AC = AB\sqrt{2} = 2a\sqrt{2}$. $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt{2} = a\sqrt{2}$.

4. Теперь найдем радиус описанного шара $R$ по формуле $R = \frac{AO^2 + H^2}{2H}$: $R = \frac{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{3})^2}{2 \cdot a\sqrt{3}} = \frac{2a^2 + 3a^2}{2a\sqrt{3}} = \frac{5a^2}{2a\sqrt{3}} = \frac{5a}{2\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{5a}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5a\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5a\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{5a\sqrt{3}}{6}$.