Номер 518, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

518*. Найдите диаметр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, у которой:

а) сторона основания равна 4 см, а боковое ребро — 6 см;

б) высота равна 28 см, а боковое ребро — 35 см;

г) все ребра равны $a$.

Для нахождения диаметра шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, воспользуемся общей формулой. Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды. Радиус шара $R$ связан с высотой пирамиды $H$ и её боковым ребром $l$ формулой $R = \frac{l^2}{2H}$. Тогда диаметр шара $D = 2R = \frac{l^2}{H}$. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R_b$ окружности, описанной около основания, связаны соотношением $l^2 = H^2 + R_b^2$. Для правильного треугольника со стороной $a_b$ радиус описанной окружности равен $R_b = \frac{a_b}{\sqrt{3}}$.

а)

Дано: сторона основания $a_b = 4$ см, боковое ребро $l = 6$ см.
1. Найдем радиус окружности, описанной около основания: $R_b = \frac{a_b}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.
2. Найдем высоту пирамиды $H$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и радиусом $R_b$, по теореме Пифагора: $H^2 = l^2 - R_b^2$. $H^2 = 6^2 - (\frac{4}{\sqrt{3}})^2 = 36 - \frac{16}{3} = \frac{108 - 16}{3} = \frac{92}{3}$. $H = \sqrt{\frac{92}{3}} = \frac{\sqrt{92}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{3}}$ см.
3. Теперь вычислим диаметр описанного шара: $D = \frac{l^2}{H} = \frac{6^2}{\frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{3}}} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{23}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{23}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{23}$: $D = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{23}}{\sqrt{23} \cdot \sqrt{23}} = \frac{18\sqrt{69}}{23}$ см.

Ответ: $\frac{18\sqrt{69}}{23}$ см.

б)

Дано: высота пирамиды $H = 28$ см, боковое ребро $l = 35$ см.
Воспользуемся формулой для диаметра $D$ описанного шара: $D = \frac{l^2}{H}$.
Подставим известные значения: $D = \frac{35^2}{28} = \frac{1225}{28}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7: $D = \frac{1225 \div 7}{28 \div 7} = \frac{175}{4} = 43,75$ см.

Ответ: $43,75$ см.

г)

Дано: все ребра пирамиды равны $a$. Такая пирамида является правильным тетраэдром.
Сторона основания $a_b = a$, боковое ребро $l = a$.
1. Найдем радиус окружности, описанной около основания: $R_b = \frac{a_b}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
2. Найдем высоту тетраэдра $H$: $H^2 = l^2 - R_b^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}$.
3. Вычислим диаметр описанного шара: $D = \frac{l^2}{H} = \frac{a^2}{a\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{a}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.
Преобразуем выражение: $D = a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = a\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.