Номер 512, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

512. Найдите радиус шара, учитывая, что:

а) площадь сечения шара плоскостью, которая перпендикулярна радиусу и проходит через его середину, равна $36\pi \text{ см}^2$;

б) общая хорда перпендикулярных сечений, проведенных на расстояниях 8 см и 12 см от центра, равна 18 см;

в*) он описан около правильной треугольной призмы, у которой высота равна $H$, а диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$;

г*) он вписан в правильную $n$-угольную пирамиду, у которой сторона основания равна $a$, а двугранный угол при основании — $\varphi$;

д*) он описан около правильной $n$-угольной пирамиды, у которой сторона основания равна $a$, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$;

е*) он описан около пирамиды, у которой основанием является прямоугольник с диагональю 8 см, а каждое боковое ребро составляет с основанием угол в $15^\circ$;

ж) он описан около правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 4 см.

а) Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус сечения. Площадь сечения $S = \pi r^2$. По условию, $S = 36\pi$ см$^2$, следовательно, $\pi r^2 = 36\pi$, откуда $r^2 = 36$ и $r=6$ см.
Сечение проведено плоскостью, перпендикулярной радиусу шара и проходящей через его середину. Это означает, что расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения равно половине радиуса шара: $d = R/2$.
Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.
Подставим известные значения:
$R^2 = 6^2 + (R/2)^2$
$R^2 = 36 + R^2/4$
$R^2 - R^2/4 = 36$
$(3/4)R^2 = 36$
$R^2 = 36 \cdot (4/3) = 48$
$R = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

б) Пусть $R$ — радиус шара. Введем систему координат с центром в центре шара $O(0,0,0)$. Пусть две перпендикулярные плоскости сечений заданы уравнениями $y=d_1$ и $z=d_2$, где $d_1=8$ см и $d_2=12$ см.
Общая хорда этих сечений лежит на прямой, являющейся пересечением этих двух плоскостей. Координаты любой точки на этой прямой удовлетворяют уравнениям $y=8$ и $z=12$.
Пусть $AB$ — данная хорда, ее длина $L = 18$ см. Пусть середина хорды $M$ имеет координату $x=0$. Тогда точка $M$ имеет координаты $(0, 8, 12)$. Концы хорды $A$ и $B$ будут иметь координаты $A(9, 8, 12)$ и $B(-9, 8, 12)$, так как длина хорды $AB$ равна $2 \cdot 9 = 18$.
Точки $A$ и $B$ лежат на поверхности шара. Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом $R$ имеет вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.
Подставим координаты точки $A$ в уравнение сферы:
$R^2 = 9^2 + 8^2 + 12^2$
$R^2 = 81 + 64 + 144$
$R^2 = 289$
$R = \sqrt{289} = 17$ см.
Ответ: 17 см.

в*) Пусть $R$ — радиус описанной около призмы сферы. Центр сферы совпадает с центром призмы и находится на середине ее высоты.
Пусть $a$ — сторона основания (правильного треугольника), $H$ — высота призмы.
Рассмотрим диагональ боковой грани. По условию, она наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона основания $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой призмы $H$, стороной основания $a$ и диагональю боковой грани, имеем: $\tan(\alpha) = H/a$, откуда $a = H/\tan(\alpha) = H \cot(\alpha)$.
Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания (правильного треугольника со стороной $a$), равен $R_{осн} = a/\sqrt{3}$.
Подставим выражение для $a$: $R_{осн} = \frac{H \cot(\alpha)}{\sqrt{3}}$.
Радиус описанной сферы $R$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половина высоты призмы $(H/2)$ и радиус описанной окружности основания $R_{осн}$, а гипотенузой — радиус сферы $R$.
$R^2 = (H/2)^2 + R_{осн}^2$
$R^2 = \frac{H^2}{4} + \left(\frac{H \cot(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)^2$
$R^2 = \frac{H^2}{4} + \frac{H^2 \cot^2(\alpha)}{3}$
$R^2 = H^2 \left(\frac{1}{4} + \frac{\cot^2(\alpha)}{3}\right) = H^2 \frac{3 + 4\cot^2(\alpha)}{12}$
$R = \sqrt{H^2 \frac{3 + 4\cot^2(\alpha)}{12}} = H \frac{\sqrt{3 + 4\cot^2(\alpha)}}{2\sqrt{3}}$.
Ответ: $H \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{\cot^2\alpha}{3}}$.

г*) Пусть $R$ — радиус вписанного в пирамиду шара. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды. Шар касается плоскости основания и всех боковых граней.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $VO$ и апофему $VM$ боковой грани. В этом сечении (прямоугольный треугольник $VOM$) центр шара $O_{сф}$ лежит на высоте $VO$. Расстояние от $O_{сф}$ до основания (катет $OM$) и до боковой грани (гипотенуза $VM$) равно радиусу шара $R$.
Следовательно, точка $O_{сф}$ равноудалена от сторон угла $\angle VMO$, который является линейным углом двугранного угла при основании и равен $\phi$ по условию. Значит, $O_{сф}$ лежит на биссектрисе этого угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_{сф}OM$ (вершина прямого угла в $O$). В нем катет $OO_{сф} = R$, а угол $\angle OMO_{сф} = \phi/2$.
Из этого треугольника имеем: $\tan(\angle OMO_{сф}) = OO_{сф}/OM$.
$\tan(\phi/2) = R / OM$, где $OM$ — радиус вписанной в основание окружности (апофема основания).
Для правильного $n$-угольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $OM$ равен $OM = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$.
Отсюда находим радиус шара $R$:
$R = OM \cdot \tan(\phi/2) = \frac{a}{2\tan(\pi/n)} \tan(\phi/2)$.
Ответ: $\frac{a \tan(\phi/2)}{2 \tan(\pi/n)}$.

д*) Пусть $R$ — радиус описанной около пирамиды сферы. Центр сферы лежит на высоте пирамиды $VO$. Все вершины пирамиды, включая вершину $V$ и вершины основания $A_1, ..., A_n$, лежат на сфере.
Следовательно, расстояние от центра сферы $O_{сф}$ до любой вершины равно $R$.
Пусть $H$ — высота пирамиды, $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около основания.
Радиус сферы $R$ связан с $H$ и $R_{осн}$ формулой: $R = \frac{R_{осн}^2 + H^2}{2H}$.
Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $R_{осн}$ и боковым ребром. В этом треугольнике $\tan(\alpha) = H / R_{осн}$, откуда $H = R_{осн} \tan(\alpha)$.
Подставим это выражение для $H$ в формулу для $R$:
$R = \frac{R_{осн}^2 + (R_{осн}\tan\alpha)^2}{2 R_{осн}\tan\alpha} = \frac{R_{осн}^2(1 + \tan^2\alpha)}{2 R_{осн}\tan\alpha}$.
Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2\alpha = 1/\cos^2\alpha$, получаем:
$R = \frac{R_{осн} \cdot (1/\cos^2\alpha)}{2 \tan\alpha} = \frac{R_{осн}}{2 \tan\alpha \cos^2\alpha} = \frac{R_{осн}}{2 (\sin\alpha/\cos\alpha) \cos^2\alpha} = \frac{R_{осн}}{2\sin\alpha\cos\alpha}$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:
$R = \frac{R_{осн}}{\sin(2\alpha)}$.
Радиус описанной окружности для правильного $n$-угольника со стороной $a$ равен $R_{осн} = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}$.
Окончательно подставляем $R_{осн}$:
$R = \frac{a}{2\sin(\pi/n) \sin(2\alpha)}$.
Ответ: $\frac{a}{2 \sin(\pi/n) \sin(2\alpha)}$.

е*) Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Основание пирамиды — прямоугольник. Сферу можно описать около пирамиды, если около ее основания можно описать окружность, и вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.
Около любого прямоугольника можно описать окружность, ее центр — точка пересечения диагоналей $O$, а радиус $R_{осн}$ равен половине диагонали. По условию, диагональ основания $d=8$ см, значит $R_{осн} = d/2 = 4$ см.
Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом $\alpha = 15^\circ$. Это означает, что высота пирамиды проходит через центр $O$ описанной окружности основания, и все боковые ребра равны.
Таким образом, задача является частным случаем предыдущей. Радиус описанной сферы можно найти по формуле $R = \frac{R_{осн}}{\sin(2\alpha)}$.
Подставляем известные значения: $R_{осн} = 4$ см и $\alpha = 15^\circ$.
$R = \frac{4}{\sin(2 \cdot 15^\circ)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)}$.
Так как $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем:
$R = \frac{4}{1/2} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

ж) Условие задачи: шар описан около правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 4 см.
Это означает, что и стороны основания (квадрата), и боковые ребра равны 4 см. Пусть $a=4$ см — сторона основания, и $l=4$ см — длина бокового ребра.
Найдем радиус $R$ описанной сферы. Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, находится по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$, где $H$ — высота пирамиды.
Сначала найдем высоту $H$. Основание пирамиды — квадрат со стороной $a=4$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Радиус окружности, описанной около основания, $R_{осн}$ равен половине диагонали: $R_{осн} = d/2 = 2\sqrt{2}$ см.
Высоту $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром $l$ и радиусом $R_{осн}$:
$H^2 + R_{осн}^2 = l^2$
$H^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4^2$
$H^2 + 8 = 16$
$H^2 = 8 \implies H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Теперь можем найти радиус описанной сферы:
$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{4^2}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{16}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Ответ: $2\sqrt{2}$ см.