Номер 505, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

505. Найдите перпендикуляры, опущенные на стороны равностороннего треугольника длиной 24 см из его внутренней точки, учитывая, что они относятся как 1 : 2 : 3.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a = 24$ см. Пусть $h_1, h_2, h_3$ — длины перпендикуляров, опущенных из некоторой внутренней точки на стороны треугольника.

Для решения этой задачи используется теорема Вивиани. Она гласит, что для любой внутренней точки равностороннего треугольника сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника постоянна и равна высоте этого треугольника.

Сначала найдем высоту $H$ данного равностороннего треугольника. Формула для вычисления высоты равностороннего треугольника через его сторону $a$ выглядит так:
$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу известное значение стороны $a = 24$ см:
$H = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

Таким образом, согласно теореме Вивиани, сумма длин искомых перпендикуляров равна высоте треугольника:
$h_1 + h_2 + h_3 = H = 12\sqrt{3}$ см.

Из условия задачи известно, что длины этих перпендикуляров относятся как $1 : 2 : 3$. Мы можем представить их длины через коэффициент пропорциональности $x$:
$h_1 = 1 \cdot x = x$
$h_2 = 2 \cdot x = 2x$
$h_3 = 3 \cdot x = 3x$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы длин перпендикуляров:
$x + 2x + 3x = 12\sqrt{3}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$6x = 12\sqrt{3}$
$x = \frac{12\sqrt{3}}{6}$
$x = 2\sqrt{3}$

Зная значение $x$, мы можем найти длины каждого из перпендикуляров:
Длина первого перпендикуляра: $h_1 = x = 2\sqrt{3}$ см.
Длина второго перпендикуляра: $h_2 = 2x = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Длина третьего перпендикуляра: $h_3 = 3x = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: длины перпендикуляров равны $2\sqrt{3}$ см, $4\sqrt{3}$ см и $6\sqrt{3}$ см.