Номер 504, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

504. Найдите отрезки, на которые разделяет сторону треугольника его биссектриса длиной 24 см, проведенная из вершины, в которой сходятся стороны с длинами 20 см и 45 см.

Пусть дан треугольник, в котором из одной вершины проведены стороны длиной $a = 45$ см и $b = 20$ см, а также биссектриса $l$ длиной 24 см. Эта биссектриса делит противолежащую сторону на два отрезка, длины которых обозначим как $x$ и $y$. Нам необходимо найти значения $x$ и $y$.

Для решения задачи мы будем использовать два основных свойства биссектрисы треугольника.

1. Свойство пропорциональности отрезков

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Математически это записывается так: $$ \frac{x}{y} = \frac{b}{a} $$ Подставим известные значения сторон: $$ \frac{x}{y} = \frac{20}{45} $$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $$ \frac{x}{y} = \frac{4}{9} $$ Из этого соотношения мы можем выразить $x$ через $y$: $$ x = \frac{4}{9}y $$

2. Формула длины биссектрисы

Квадрат длины биссектрисы равен произведению сторон, между которыми она проведена, минус произведение отрезков, на которые она делит третью сторону. $$ l^2 = a \cdot b - x \cdot y $$ Подставим известные значения в эту формулу: $$ 24^2 = 45 \cdot 20 - x \cdot y $$ Выполним вычисления: $$ 576 = 900 - xy $$ Теперь найдем произведение $xy$: $$ xy = 900 - 576 $$ $$ xy = 324 $$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} x = \frac{4}{9}y \\ xy = 324 \end{cases} $$ Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе: $$ \left(\frac{4}{9}y\right) \cdot y = 324 $$ $$ \frac{4}{9}y^2 = 324 $$ Теперь решим это уравнение, чтобы найти $y$: $$ y^2 = 324 \cdot \frac{9}{4} $$ $$ y^2 = 81 \cdot 9 $$ $$ y^2 = 729 $$ Так как длина отрезка не может быть отрицательной, находим положительный корень: $$ y = \sqrt{729} = 27 \text{ см} $$ Теперь, зная $y$, можем найти $x$: $$ x = \frac{4}{9}y = \frac{4}{9} \cdot 27 = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$

Таким образом, биссектриса делит сторону треугольника на отрезки длиной 12 см и 27 см.

Ответ: 12 см и 27 см.