Номер 499, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

499. Докажите, что сумма величин, обратных квадратам катетов прямоугольного треугольника, равна величине, обратной квадрату высоты, проведенной к гипотенузе.

Для доказательства данного утверждения введем обозначения. Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, гипотенуза равна $c$, а высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна $h$.

Нам необходимо доказать, что сумма величин, обратных квадратам катетов, равна величине, обратной квадрату высоты. Математически это записывается как следующее равенство:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{h^2}$

Доказательство проведем путем преобразования левой части равенства.

1. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2 b^2}$

2. По теореме Пифагора для нашего прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Заменим выражение $a^2 + b^2$ в числителе дроби на $c^2$:

$\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{c^2}{a^2 b^2}$

3. Теперь найдем способ выразить знаменатель $a^2 b^2$ через высоту $h$. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника. Площадь $S$ нашего прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

- Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$
- Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$

Умножив обе части на 2, получим:

$ab = ch$

4. Возведем обе части полученного равенства в квадрат, чтобы получить выражение для $a^2 b^2$:

$(ab)^2 = (ch)^2$

$a^2 b^2 = c^2 h^2$

5. Подставим это выражение в знаменатель нашей дроби из шага 2:

$\frac{c^2}{a^2 b^2} = \frac{c^2}{c^2 h^2}$

6. Сократим полученную дробь на $c^2$ (так как длина гипотенузы $c$ не может быть равна нулю):

$\frac{c^2}{c^2 h^2} = \frac{1}{h^2}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили в точности его правую часть. Следовательно, равенство $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{h^2}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма величин, обратных квадратам катетов прямоугольного треугольника, действительно равна величине, обратной квадрату высоты, проведенной к гипотенузе.