Номер 496, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

496. Диагонали трапеции равны 15 см и 20 см, а средняя линия — 12,5 см.

Найдите высоту трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, её диагонали $AC = 15$ см и $BD = 20$ см, а средняя линия $m = 12,5$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Отсюда мы можем найти сумму оснований трапеции:

$AD + BC = 2 \cdot m = 2 \cdot 12,5 = 25$ см.

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. В нём стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как лежат на прямых, содержащих основания трапеции. Стороны $CE$ и $BD$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что $CE = BD = 20$ см и $DE = BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны:

• $AC = 15$ см (по условию).
• $CE = 20$ см (так как $CE=BD$).
• $AE = AD + DE = AD + BC = 25$ см (сумма оснований трапеции).

Высота трапеции, проведённая из вершины $C$ к основанию $AD$, совпадает с высотой треугольника $ACE$, проведённой из вершины $C$ к стороне $AE$. Обозначим эту высоту как $h$.

Проверим, является ли треугольник $ACE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AE^2 = 25^2 = 625$

$AC^2 + CE^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

Поскольку $AE^2 = AC^2 + CE^2$, треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Площадь этого прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Как половину произведения катетов $AC$ и $CE$:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

2. Как половину произведения гипотенузы $AE$ на высоту $h$, проведённую к ней:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h$.

Приравняем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h = 150$

$25h = 300$

$h = \frac{300}{25} = 12$ см.

Таким образом, высота трапеции равна 12 см.

Ответ: 12 см.