Номер 498, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

498. Найдите радиус окружности, описанной около:

a) прямоугольного треугольника, биссектриса которого делит один из катетов на части 4 см и 5 см;

б) равнобедренной трапеции, основания которой равны 60 см и 80 см, а боковая сторона — 26 см.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

По условию, биссектриса одного из острых углов делит противолежащий катет на отрезки 4 см и 5 см. Это означает, что длина этого катета равна $4+5 = 9$ см. Пусть, для определённости, биссектриса угла $A$ делит катет $BC$. Тогда $BC = 9$ см. Обозначим катеты как $a=BC=9$ см и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

Согласно свойству биссектрисы угла в треугольнике, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть $D$ — точка пересечения биссектрисы с катетом $BC$. Тогда $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

Поскольку гипотенуза $c$ всегда больше катета $b$, отношение $\frac{c}{b}$ должно быть больше 1. Следовательно, отрезок $BD$, соответствующий гипотенузе, должен быть длиннее отрезка $DC$. Таким образом, $BD = 5$ см и $DC = 4$ см. Отсюда получаем соотношение: $\frac{c}{b} = \frac{5}{4}$, или $c = \frac{5}{4}b$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известные значения и соотношения:$9^2 + b^2 = (\frac{5}{4}b)^2$$81 + b^2 = \frac{25}{16}b^2$$81 = \frac{25}{16}b^2 - b^2$$81 = \frac{9}{16}b^2$$b^2 = \frac{81 \cdot 16}{9} = 9 \cdot 16 = 144$$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем длину гипотенузы: $c = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot 12 = 15$ см.(Если бы биссектриса угла $B$ делила катет $AC$, то мы бы получили треугольник с теми же сторонами: катетами 9 см и 12 см, и гипотенузой 15 см).

Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы.$R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

Ответ: 7,5 см.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB=80$ см и $DC=60$ см, и боковыми сторонами $AD=BC=26$ см. Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, $\triangle ABD$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Нам нужно найти стороны треугольника $ABD$ и его площадь.

Сначала найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $DH$ из вершины $D$ на основание $AB$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований:$AH = \frac{AB - DC}{2} = \frac{80 - 60}{2} = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = DH$:$h^2 = AD^2 - AH^2 = 26^2 - 10^2 = (26-10)(26+10) = 16 \cdot 36 = 576$.$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдем диагональ трапеции $d = BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $HBD$. Катет $HB$ равен $AB - AH = 80 - 10 = 70$ см. По теореме Пифагора:$d^2 = DH^2 + HB^2 = 24^2 + 70^2 = 576 + 4900 = 5476$.$d = \sqrt{5476} = 74$ см.

Таким образом, стороны треугольника $ABD$ равны: $AB=80$ см, $AD=26$ см, $BD=74$ см. Площадь треугольника $ABD$ можно вычислить по формуле:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 24 = 960$ см$^2$.

Наконец, вычислим радиус $R$ описанной окружности:$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 \cdot S_{ABD}} = \frac{80 \cdot 26 \cdot 74}{4 \cdot 960} = \frac{80 \cdot 26 \cdot 74}{3840}$. Сокращаем дробь:$R = \frac{26 \cdot 74}{48} = \frac{13 \cdot 74}{24} = \frac{13 \cdot 37}{12} = \frac{481}{12}$ см.

Ответ: $\frac{481}{12}$ см.