Номер 500, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

500. Основания прямоугольной трапеции равны 17 см и 25 см, а большая боковая сторона — 10 см. Найдите отрезок, который соединяет точку продолжения меньшей боковой стороны с серединой большей и перпендикулярен ей.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD \perp DC$. Основания $AB = 17$ см и $DC = 25$ см. Большая боковая сторона $BC = 10$ см. Меньшая боковая сторона $AD$ является высотой трапеции.

Сначала найдем высоту трапеции. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $DC$. Так как трапеция прямоугольная, $ABHD$ — прямоугольник. Это означает, что $DH = AB = 17$ см, и высота трапеции $AD = BH$. Отрезок $HC$ на большем основании равен $HC = DC - DH = 25 - 17 = 8$ см. В прямоугольном треугольнике $BHC$ по теореме Пифагора $BH^2 + HC^2 = BC^2$, откуда $BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см. Таким образом, меньшая боковая сторона $AD$ равна 6 см.

Условие "Найдите отрезок, который соединяет точку продолжения меньшей боковой стороны с серединой большей боковой и перпендикулярен ей" трактуется следующим образом: необходимо найти длину отрезка $KM$, где $M$ — середина большей боковой стороны $BC$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей меньшую боковую сторону $AD$, и сам отрезок $KM$ перпендикулярен стороне $BC$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину $D$ в начало координат $(0,0)$, направив ось $Ox$ вдоль $DC$ и ось $Oy$ вдоль $DA$. В этой системе координаты вершин трапеции будут: $D(0,0)$, $C(25,0)$, $A(0,6)$ и $B(17,6)$.

Найдем координаты точки $M$ — середины стороны $BC$. Используя формулу середины отрезка для точек $B(17,6)$ и $C(25,0)$:
$M = \left( \frac{17+25}{2}, \frac{6+0}{2} \right) = (21, 3)$.

Далее, найдем уравнение прямой, на которой лежит искомый отрезок. Этот отрезок $KM$ должен быть перпендикулярен прямой $BC$. Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой $BC$:
$m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{0 - 6}{25 - 17} = -\frac{3}{4}$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $KM$ будет $m_{KM} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{4}{3}$, так как произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.

Точка $K$ лежит на прямой $AD$, которая в нашей системе координат совпадает с осью $Oy$ (ее уравнение $x=0$). Следовательно, координаты точки $K$ имеют вид $(0, y_K)$. Зная, что прямая $KM$ проходит через точку $M(21,3)$ и имеет угловой коэффициент $4/3$, мы можем найти $y_K$ из формулы углового коэффициента:
$m_{KM} = \frac{y_M - y_K}{x_M - x_K} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{3 - y_K}{21 - 0}$.
Решим это уравнение относительно $y_K$:
$3 - y_K = 21 \cdot \frac{4}{3}$
$3 - y_K = 28$
$y_K = 3 - 28 = -25$.
Итак, координаты точки $K$ — это $(0, -25)$.

Наконец, вычислим длину искомого отрезка $KM$ по формуле расстояния между точками $K(0, -25)$ и $M(21, 3)$:
$KM = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2} = \sqrt{(21 - 0)^2 + (3 - (-25))^2}$
$KM = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$ см.

Ответ: 35 см.