Номер 494, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

494. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого больше одного катета на 2 см, а другого — на 25 см.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Из условия задачи следует, что гипотенуза на 2 см длиннее одного катета и на 25 см длиннее другого. Мы можем выразить длины катетов через длину гипотенузы:

$a = c - 2$

$b = c - 25$

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$:

$(c - 2)^2 + (c - 25)^2 = c^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 50c + 625) = c^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2c^2 - 54c + 629 = c^2$

$c^2 - 54c + 629 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 629 = 2916 - 2516 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$c_{1,2} = \frac{-(-54) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{54 \pm 20}{2}$

$c_1 = \frac{54 + 20}{2} = \frac{74}{2} = 37$

$c_2 = \frac{54 - 20}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Нам нужно проверить оба найденных значения для $c$, так как длина стороны треугольника должна быть положительным числом.

1. Если $c = 37$ см, то длины катетов будут:

$a = c - 2 = 37 - 2 = 35$ см

$b = c - 25 = 37 - 25 = 12$ см

Оба значения положительны, следовательно, такой треугольник существует.

2. Если $c = 17$ см, то длины катетов будут:

$a = c - 2 = 17 - 2 = 15$ см

$b = c - 25 = 17 - 25 = -8$ см

Длина катета не может быть отрицательной, поэтому это решение не соответствует условию задачи.

Таким образом, стороны треугольника равны 12 см, 35 см и 37 см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 12 + 35 + 37 = 84$ см

Ответ: 84 см.