Номер 488, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

488. Три прямые $a$, $b$, $c$ в плоскости размещаются так, как показано на рис. 390.

Найти:

а) угол между прямыми $b$ и $c$;

б) угол между биссектрисами углов, которые прямая $c$ образует с прямыми $a$ и $b$, причем эти углы располагаются по разные стороны от прямой $c$.

Рис. 390

а) угол между прямыми b и c;

Рассмотрим треугольник, образованный пересечением трех прямых a, b и c. Обозначим точки пересечения: O — точка пересечения прямых a и c, P — точка пересечения прямых a и b, и Q — точка пересечения прямых b и c.

Угол при вершине O внутри треугольника ΔOPQ является вертикальным углу в 72°, указанному на рисунке, следовательно, он также равен 72°. Обозначим его как $\angle QOP = 72^\circ$.

Угол при вершине P внутри треугольника ΔOPQ равен 27°, как указано на рисунке. Обозначим его как $\angle OPQ = 27^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем третий угол треугольника при вершине Q, который является одним из углов, образованных при пересечении прямых b и c. Этот угол можно найти, рассмотрев внешний угол треугольника при вершине Q, который равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

Внешний угол при вершине Q $= \angle QOP + \angle OPQ = 72^\circ + 27^\circ = 99^\circ$.

Сам внутренний угол $\angle OQP$ является смежным с этим внешним углом, поэтому:

$\angle OQP = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$.

Углом между двумя пересекающимися прямыми по определению считается меньший из образовавшихся углов. При пересечении прямых b и c образуются углы 81° и 99°. Меньший из них — 81°.

Ответ: 81°.

б) угол между биссектрисами углов, которые прямая с образует с прямыми a и b, причем эти углы располагаются по разные стороны от прямой с.

Согласно условию, нам нужно найти угол между биссектрисами двух углов, которые лежат по разные стороны от прямой c.

1. Первый угол образован прямыми a и c. Возьмем угол в 72°, указанный на рисунке. Он находится с одной стороны от прямой c.

2. Второй угол образован прямыми b и c и должен находиться с другой стороны от прямой c. В пункте (а) мы нашли, что внутренний угол треугольника ΔOPQ при вершине Q, $\angle OQP$, равен 81°. Этот угол как раз находится по другую сторону от прямой c относительно угла в 72°.

Таким образом, нам нужно найти угол между биссектрисами угла в 72° и угла в 81°.

Пусть l₁ — биссектриса угла в 72° между прямыми a и c. По определению биссектрисы, угол между ней и прямой c равен половине исходного угла:
$\frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Пусть l₂ — биссектриса угла в 81° между прямыми b и c. Угол между этой биссектрисой и прямой c равен:
$\frac{81^\circ}{2} = 40.5^\circ$.

Поскольку исходные углы (72° и 81°) лежат по разные стороны от прямой c, их биссектрисы l₁ и l₂ также будут лежать по разные стороны от прямой c. Это значит, что угол между биссектрисами будет равен сумме углов, которые каждая биссектриса образует с прямой c.

Искомый угол равен сумме этих двух углов:

$36^\circ + 40.5^\circ = 76.5^\circ$.

Ответ: 76.5°.