Номер 485, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

485. Найдите величину каждого из углов, образованных при пересечении двух прямых, учитывая, что величина одного из них:

а) в 8 раз меньше, чем суммарная величина трех остальных;

б) составляет $\frac{2}{7}$ от суммарной величины трех остальных.

Рис. 389

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Сумма этих четырех углов всегда равна $360^\circ$. Углы, расположенные друг напротив друга (вертикальные углы), равны. Углы, имеющие общую сторону (смежные углы), в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, при пересечении двух прямых образуются две пары равных углов.

Обозначим величину одного из углов как $x$. Тогда вертикальный ему угол также равен $x$. Два других угла будут смежными к нему, и каждый из них будет равен $180^\circ - x$.

а)

Пусть величина одного из углов равна $x$. Тогда сумма трех остальных углов равна: $x + (180^\circ - x) + (180^\circ - x) = 360^\circ - x$.

Согласно условию, величина одного угла в 8 раз меньше, чем суммарная величина трех остальных. Это можно записать в виде уравнения:

$x = \frac{360^\circ - x}{8}$

Решим это уравнение:

$8x = 360^\circ - x$

$8x + x = 360^\circ$

$9x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{9}$

$x = 40^\circ$

Мы нашли величину одной пары вертикальных углов. Теперь найдем величину другой пары:

$180^\circ - x = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Таким образом, образовались две пары углов: два угла по $40^\circ$ и два угла по $140^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

б)

Как и в предыдущем пункте, пусть один угол равен $x$, а сумма трех остальных — $360^\circ - x$.

Согласно условию, величина одного угла составляет $\frac{2}{7}$ от суммарной величины трех остальных. Составим уравнение:

$x = \frac{2}{7} (360^\circ - x)$

Решим это уравнение:

$7x = 2(360^\circ - x)$

$7x = 720^\circ - 2x$

$7x + 2x = 720^\circ$

$9x = 720^\circ$

$x = \frac{720^\circ}{9}$

$x = 80^\circ$

Мы нашли величину одной пары вертикальных углов. Теперь найдем величину другой пары:

$180^\circ - x = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Таким образом, образовались две пары углов: два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.