Номер 44, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

44. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда; произвольного параллелепипеда?

Объем прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, все шесть граней которого являются прямоугольниками. Объем такой фигуры равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — это измерения (длина, ширина и высота) прямоугольного параллелепипеда. Тогда его объем $V$ вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$

Эту формулу также можно представить как произведение площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$. В случае прямоугольного параллелепипеда основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, поэтому его площадь $S_{осн} = a \cdot b$. Высота $h$ совпадает с третьим ребром $c$. Таким образом, формула принимает вид: $V = S_{осн} \cdot h$

Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

Объем произвольного параллелепипеда

Произвольный параллелепипед — это многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. Он может быть как прямым (боковые ребра перпендикулярны основанию), так и наклонным.

Объем любого параллелепипеда вычисляется как произведение площади его основания на высоту.

Пусть $S_{осн}$ — это площадь основания параллелепипеда (которое является параллелограммом), а $h$ — его высота (длина перпендикуляра, проведенного от любой точки верхнего основания к плоскости нижнего основания). Тогда объем $V$ находится по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$

Если параллелепипед задан тремя некомпланарными векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, выходящими из одной вершины, то его объем равен модулю (абсолютной величине) их смешанного произведения. Смешанное произведение — это скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий вектор.

Формула объема через смешанное произведение векторов: $V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ Здесь $|\vec{a} \times \vec{b}|$ — это модуль векторного произведения, который численно равен площади основания $S_{осн}$, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту ($V = S_{осн} \cdot h$) или модулю смешанного произведения векторов ребер, выходящих из одной вершины ($V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$).