Номер 37, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

37. Чему равна площадь круга с радиусом $R$; площадь сектора с радиусом $R$ и центральным углом, радианная мера которого равна $\alpha$?

площадь круга с радиусом R

Площадь круга, обозначаемая как $S$, представляет собой меру двумерного пространства, заключенного внутри окружности. Она вычисляется по общеизвестной формуле, которая связывает площадь с квадратом радиуса $R$.

Формула для площади круга:
$S = \pi R^2$
Здесь $R$ — это радиус круга, а $\pi$ (пи) — это математическая константа, представляющая собой отношение длины окружности к её диаметру, значение которой приблизительно равно $3.14159$.

Ответ: $S = \pi R^2$.

площадь сектора с радиусом R и центральным углом, радианная мера которого равна α

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Площадь сектора является частью общей площади круга и прямо пропорциональна величине его центрального угла.

Площадь всего круга равна $S = \pi R^2$, что соответствует полному центральному углу в $360^{\circ}$ или $2\pi$ радиан. Чтобы найти площадь сектора с центральным углом $\alpha$ (в радианах), необходимо найти, какую долю от полного круга он составляет. Эта доля равна отношению угла сектора $\alpha$ к углу полного круга $2\pi$.

Таким образом, площадь сектора ($S_{сектора}$) вычисляется умножением общей площади круга на эту долю:
$S_{сектора} = (\text{Площадь круга}) \times \frac{\alpha}{2\pi} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{2\pi}$

Сократив $\pi$ в числителе и знаменателе, получаем конечную формулу:
$S_{сектора} = \frac{R^2 \alpha}{2}$
где $R$ — радиус сектора, а $\alpha$ — его центральный угол, выраженный в радианах.

Ответ: $S_{сектора} = \frac{R^2 \alpha}{2}$.