Номер 32, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

32. Как площадь четырехугольника выражается через его диагонали и угол между ними.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника выражается через его диагонали и угол между ними следующей формулой: площадь равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$.

Диагонали делят четырехугольник $ABCD$ на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырехугольника равна сумме площадей этих четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Применим эту формулу к каждому из четырех треугольников.

Площадь $\triangle AOB$ равна $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\alpha)$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$. Так как синусы смежных углов равны ($\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$), площадь $\triangle BOC$ равна $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin(\alpha)$.

Угол $\angle COD$ является вертикальным с углом $\angle AOB$, поэтому $\angle COD = \angle AOB = \alpha$. Площадь $\triangle COD$ равна $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin(\alpha)$.

Угол $\angle DOA$ является вертикальным с углом $\angle BOC$, поэтому $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$. Площадь $\triangle DOA$ равна $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(\alpha)$.

Теперь сложим площади этих треугольников:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(\alpha)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin(\alpha)$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin(\alpha) (AO \cdot BO + BO \cdot OC + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители:

$AO \cdot BO + BO \cdot OC + CO \cdot DO + DO \cdot AO = BO \cdot (AO + OC) + DO \cdot (CO + AO) = (AO + OC) \cdot (BO + DO)$

Поскольку $AO + OC = AC = d_1$ и $BO + DO = BD = d_2$, мы можем подставить эти значения в выражение:

$(AO + OC) \cdot (BO + DO) = AC \cdot BD = d_1 \cdot d_2$

Таким образом, окончательная формула для площади четырехугольника выглядит так:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

Эта формула верна для любого выпуклого четырехугольника. Так как при пересечении диагоналей образуются два смежных угла, $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$, а их синусы равны, не имеет значения, какой из углов между диагоналями использовать для расчета.

Ответ: Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Формула: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.