Номер 26, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

26. Сформулируйте свойство многоугольника, для которого существует точка пространства, равноудаленная от всех сторон многоугольника.

Для того чтобы в пространстве существовала точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника, этот многоугольник должен обладать определенным свойством. Рассмотрим, что это за свойство.

Пусть дан плоский многоугольник, лежащий в плоскости $\alpha$. Стороны многоугольника лежат на прямых $l_1, l_2, \ldots, l_n$. Предположим, что существует точка $M$ в пространстве, которая равноудалена от всех этих прямых. Обозначим это расстояние как $d$. То есть, расстояние от $M$ до каждой прямой $l_i$ равно $d$.

Спроектируем точку $M$ на плоскость $\alpha$, в которой лежит многоугольник. Пусть $O$ — это проекция точки $M$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно длине перпендикуляра $MO$. Обозначим это расстояние как $h$.

Для любой стороны многоугольника, лежащей на прямой $l_i$, рассмотрим расстояние от точки $M$ до этой прямой. Пусть $K_i$ — это точка на прямой $l_i$, ближайшая к точке $M$. Тогда отрезок $MK_i$ перпендикулярен прямой $l_i$, и его длина равна $d$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MK_i$ перпендикулярна прямой $l_i$ на плоскости $\alpha$, то и ее проекция $OK_i$ на эту плоскость также перпендикулярна прямой $l_i$. Это означает, что длина отрезка $OK_i$ — это расстояние от точки $O$ до прямой $l_i$. Обозначим это расстояние как $r_i$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK_i$ (он прямоугольный, так как $MO \perp \alpha$, а значит $MO \perp OK_i$). По теореме Пифагора:

$MK_i^2 = MO^2 + OK_i^2$

Используя наши обозначения, получаем:

$d^2 = h^2 + r_i^2$

Из этого уравнения мы можем выразить $r_i$:

$r_i = \sqrt{d^2 - h^2}$

Поскольку по нашему предположению точка $M$ равноудалена от всех сторон, расстояние $d$ является постоянной величиной для всех $i = 1, 2, \ldots, n$. Расстояние $h$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ также является постоянным. Следовательно, величина $r_i$ должна быть одинаковой для всех сторон многоугольника:

$r_1 = r_2 = \ldots = r_n = r = \sqrt{d^2 - h^2}$

Это означает, что точка $O$ (проекция точки $M$ на плоскость многоугольника) равноудалена от всех прямых, содержащих стороны этого многоугольника. Точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника и лежащая с ним в одной плоскости, является центром вписанной в этот многоугольник окружности, а расстояние $r$ — ее радиусом.

Таким образом, для существования искомой точки $M$ в пространстве необходимо и достаточно, чтобы в многоугольник можно было вписать окружность. Такие многоугольники называются описанными.

Свойство, которым должен обладать многоугольник, можно сформулировать следующим образом: биссектрисы всех его внутренних углов должны пересекаться в одной точке. Эта точка и будет центром $O$ вписанной окружности. Множество всех точек в пространстве, равноудаленных от сторон такого многоугольника, представляет собой прямую, проходящую через центр вписанной окружности перпендикулярно плоскости многоугольника.

Ответ: Свойство многоугольника, для которого существует точка пространства, равноудаленная от всех его сторон, заключается в том, что в этот многоугольник можно вписать окружность (такой многоугольник называется описанным). Эквивалентное свойство: биссектрисы всех внутренних углов многоугольника должны пересекаться в одной точке.