Номер 25, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

25. Сформулируйте свойство многоугольника, для которого существует точка пространства, равноудаленная от всех вершин многоугольника.

Пусть дан многоугольник с вершинами $A_1, A_2, \ldots, A_n$. Если существует точка $O$ в пространстве, равноудаленная от всех его вершин, то по определению это означает, что расстояния от точки $O$ до каждой из вершин равны между собой: $|OA_1| = |OA_2| = \ldots = |OA_n| = R$, где $R$ — некоторое положительное число.

Геометрическое место точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии $R$ от фиксированной точки $O$, — это сфера с центром в $O$ и радиусом $R$. Следовательно, все вершины многоугольника $A_1, A_2, \ldots, A_n$ лежат на этой сфере.

По определению, многоугольник является плоской фигурой, то есть все его вершины лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

Поскольку все вершины многоугольника принадлежат одновременно и сфере, и плоскости $\alpha$, они должны лежать на линии их пересечения. Пересечением сферы и плоскости является окружность (за исключением вырожденных случаев, когда пересечение — это точка или пустое множество, что невозможно для вершин многоугольника).

Таким образом, все вершины данного многоугольника лежат на одной окружности. Многоугольник, для которого существует такая окружность, проходящая через все его вершины, называется вписанным в эту окружность, или циклическим.

Это свойство является не только необходимым, но и достаточным. Мы доказали, что оно необходимо. Достаточность следует из того, что если вокруг многоугольника можно описать окружность (с центром $C$ и радиусом $r$), то любая точка $O$, лежащая на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр $C$, будет равноудалена от всех вершин. Расстояние от такой точки $O$ до любой вершины $A_i$ по теореме Пифагора равно $\sqrt{|OC|^2 + r^2}$, что является постоянной величиной для всех вершин.

Ответ: Свойство многоугольника, для которого существует точка пространства, равноудаленная от всех его вершин, заключается в том, что вокруг этого многоугольника можно описать окружность (то есть многоугольник должен быть вписанным).