Номер 27, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

27. Чему равна длина окружности с радиусом $R$, длина дуги окружности с радиусом $R$ и радианной мерой $\alpha$?

Длина окружности с радиусом R
Длина окружности (также называемая периметром круга) — это фундаментальная характеристика, которая определяет её размер. Она вычисляется с помощью формулы, связывающей её с радиусом $R$.
Формула для вычисления длины окружности $C$:
$C = 2 \pi R$
В этой формуле:
$C$ — это искомая длина окружности.
$R$ — это радиус окружности, то есть расстояние от центра до любой точки на окружности.
$\pi$ (пи) — это математическая константа, которая представляет собой отношение длины любой окружности к её диаметру. Её значение приблизительно равно $3.14159$.
Таким образом, чтобы найти длину окружности, нужно умножить её радиус на $2$ и на число $\pi$.
Ответ: $C = 2 \pi R$.

Длина дуги окружности с радиусом R и радианной мерой α
Длина дуги — это длина её участка, ограниченного двумя точками. Эта величина зависит как от радиуса окружности $R$, так и от центрального угла $\alpha$, который опирается на эту дугу.
Когда угол $\alpha$ задан в радианах, формула для вычисления длины дуги $l$ имеет очень простой вид. По определению, угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Длина всей окружности $C = 2 \pi R$ соответствует полному углу в $2\pi$ радиан. Длина дуги $l$ прямо пропорциональна величине её центрального угла $\alpha$. Мы можем составить пропорцию, приравнивая отношение длины дуги к длине всей окружности к отношению соответствующего угла к полному углу:
$\frac{l}{C} = \frac{\alpha}{2\pi}$
Подставив в эту пропорцию формулу для длины всей окружности $C = 2 \pi R$, получаем:
$\frac{l}{2 \pi R} = \frac{\alpha}{2\pi}$
Чтобы найти $l$, умножим обе части уравнения на $2 \pi R$:
$l = \frac{\alpha \cdot 2 \pi R}{2\pi} = \alpha R$
Итак, чтобы найти длину дуги, нужно просто умножить её радианную меру $\alpha$ на радиус окружности $R$.
Ответ: $l = \alpha R$.