Номер 31, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

31. Как площадь треугольника выражается

через сторону и проведенную к ней высоту;

через среднюю линию и высоту;

через две стороны и угол между ними;

через стороны;

через полупериметр и радиус вписанной окружности;

через стороны и радиус описанной окружности.

через сторону и проведенную к ней высоту

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Если $a$ — это длина стороны треугольника, а $h_a$ — длина высоты, опущенной на эту сторону, то площадь $S$ вычисляется по формуле:

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

через среднюю линию и высоту

Площадь треугольника равна произведению его средней линии на высоту, перпендикулярную этой средней линии (т.е. высоту, проведенную к параллельной ей стороне). Средняя линия треугольника, параллельная стороне $a$, равна $m_a = \frac{a}{2}$. Высота, проведенная к стороне $a$, равна $h_a$. Тогда, исходя из основной формулы площади $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, подставим $a = 2m_a$ и получим:

Ответ: $S = m_a \cdot h_a$

через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Если $a$ и $b$ — это длины двух сторон, а $\gamma$ — угол, заключенный между ними, то площадь $S$ вычисляется по формуле:

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

через стороны

Площадь треугольника можно найти, зная длины всех трех его сторон, с помощью формулы Герона. Пусть $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, а $p$ — его полупериметр, который вычисляется как $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда площадь $S$ равна:

Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

через полупериметр и радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Если $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, то площадь $S$ вычисляется по формуле:

Ответ: $S = p \cdot r$

через стороны и радиус описанной окружности

Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон и радиус описанной окружности. Если $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности, то площадь $S$ равна:

Ответ: $S = \frac{abc}{4R}$