Номер 19, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

19. Какому условию удовлетворяет сумма плоских углов выпуклого многогранного угла?

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше $360^\circ$. Это является фундаментальной теоремой стереометрии о многогранных углах.

Приведем доказательство этой теоремы.

Пусть дан выпуклый n-гранный угол с вершиной в точке $O$. Его плоские углы — это углы при вершине $O$, образованные соседними ребрами. Обозначим их сумму через $S_O$.

1. Пересечем все ребра многогранного угла некоторой плоскостью, не проходящей через вершину $O$. В сечении получится выпуклый n-угольник, обозначим его $A_1A_2...A_n$. Точки $A_1, A_2, ..., A_n$ лежат на ребрах многогранного угла. Таким образом, мы получаем n-угольную пирамиду $OA_1A_2...A_n$. Сумма плоских углов при вершине $O$ этой пирамиды и есть искомая сумма $S_O = \angle A_1OA_2 + \angle A_2OA_3 + \dots + \angle A_nOA_1$.

2. Сумма всех углов во всех $n$ треугольных гранях пирамиды ($ \triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, \dots, \triangle OA_nA_1 $) равна $n \cdot 180^\circ$. Эта общая сумма состоит из суммы углов при вершине $O$ ($S_O$) и суммы всех углов при вершинах основания $A_1, A_2, ..., A_n$ (обозначим ее $S_{осн}$).

$S_O + S_{осн} = n \cdot 180^\circ$

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника $A_1A_2...A_n$, лежащего в основании, вычисляется по формуле:

$S_{мн} = (n-2) \cdot 180^\circ$

4. Рассмотрим трехгранные углы при каждой вершине основания пирамиды ($A_1, A_2, \dots, A_n$). Например, при вершине $A_1$ образован трехгранный угол с плоскими углами $\angle OA_1A_2$, $\angle OA_1A_n$ (углы боковых граней) и $\angle A_n A_1 A_2$ (угол основания). Согласно свойству выпуклого трехгранного угла, сумма двух любых его плоских углов больше третьего. Следовательно, для каждой вершины основания имеем:

$\angle OA_1A_2 + \angle OA_1A_n > \angle A_n A_1 A_2$
$\angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3 > \angle A_1 A_2 A_3$
...
$\angle OA_nA_{n-1} + \angle OA_nA_1 > \angle A_{n-1} A_n A_1$

5. Сложив все эти $n$ неравенств, мы получим, что сумма углов при основании всех треугольных граней ($S_{осн}$) больше суммы внутренних углов многоугольника в основании ($S_{мн}$):

$S_{осн} > S_{мн}$

Подставляя значение $S_{мн}$, получаем:

$S_{осн} > (n-2) \cdot 180^\circ$

6. Теперь вернемся к равенству из пункта 2 и выразим из него $S_O$:

$S_O = n \cdot 180^\circ - S_{осн}$

Поскольку $S_{осн} > (n-2) \cdot 180^\circ$, то при вычитании $S_{осн}$ знак неравенства изменится:

$S_O < n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

$S_O < (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$

$S_O < (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$S_O < 2 \cdot 180^\circ$

$S_O < 360^\circ$

Таким образом, доказано, что сумма плоских углов любого выпуклого многогранного угла строго меньше $360^\circ$.

Ответ: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла удовлетворяет условию: она всегда меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).