Номер 16, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Какой угол называют линейным углом двугранного угла и какое свойство имеют линейные углы одного и того же двугранного угла?

Какой угол называют линейным углом двугранного угла

Двугранный угол — это фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями (называемыми гранями), исходящими из одной общей прямой (называемой ребром).

Линейным углом двугранного угла называется угол, который получается при пересечении данного двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Чтобы построить линейный угол, необходимо выполнить следующие действия:

1. На ребре двугранного угла выбрать произвольную точку (назовем ее $O$).

2. В каждой из граней из этой точки $O$ провести лучи, перпендикулярные ребру. Пусть в одной грани это будет луч $OA$, а в другой — луч $OB$. Таким образом, $OA \perp$ ребру и $OB \perp$ ребру.

Угол $\angle AOB$, образованный этими двумя лучами, и является линейным углом данного двугранного угла. Величина двугранного угла по определению равна величине его линейного угла.

Ответ: Линейным углом двугранного угла называют угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны этому ребру.

и какое свойство имеют линейные углы одного и того же двугранного угла

Основное свойство заключается в том, что все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой. Это означает, что величина линейного угла не зависит от выбора точки на ребре, через которую он строится.

Рассмотрим доказательство этого свойства. Пусть дан двугранный угол с ребром $c$ и гранями $\alpha$ и $\beta$. Построим два его линейных угла с вершинами в разных точках ребра, $O_1$ и $O_2$.

• Первый линейный угол $\angle A_1O_1B_1$ образован лучами $O_1A_1$ и $O_1B_1$, где $O_1A_1 \subset \alpha$, $O_1B_1 \subset \beta$, при этом $O_1A_1 \perp c$ и $O_1B_1 \perp c$.
• Второй линейный угол $\angle A_2O_2B_2$ образован лучами $O_2A_2$ и $O_2B_2$, где $O_2A_2 \subset \alpha$, $O_2B_2 \subset \beta$, при этом $O_2A_2 \perp c$ и $O_2B_2 \perp c$.

Лучи $O_1A_1$ и $O_2A_2$ лежат в одной плоскости ($\alpha$) и оба перпендикулярны одной и той же прямой ($c$). Следовательно, эти лучи параллельны и сонаправлены ($O_1A_1 \uparrow\uparrow O_2A_2$).

Аналогично, лучи $O_1B_1$ и $O_2B_2$ лежат в плоскости $\beta$ и оба перпендикулярны прямой $c$, значит, они также параллельны и сонаправлены ($O_1B_1 \uparrow\uparrow O_2B_2$).

Поскольку стороны угла $\angle A_1O_1B_1$ соответственно параллельны и сонаправлены сторонам угла $\angle A_2O_2B_2$, то по теореме о равенстве углов с сонаправленными сторонами, эти углы равны: $\angle A_1O_1B_1 = \angle A_2O_2B_2$.

Именно это свойство позволяет корректно определить меру двугранного угла как меру любого из его линейных углов.

Ответ: Все линейные углы одного и того же двугранного угла равны друг другу.