Номер 9, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Какой смысл имеют углы с градусной мерой больше $360^\circ$?

9.

В стандартной геометрии угол чаще всего рассматривается как статическая фигура, и его величина ограничена диапазоном от $0^\circ$ до $360^\circ$. Однако в тригонометрии, физике, инженерии и многих других областях используется более широкое понятие — угол поворота.

Угол поворота описывает вращение объекта (например, луча или вектора) вокруг некоторой точки из начального положения в конечное. Один полный оборот составляет $360^\circ$. Если вращение не останавливается после одного оборота, а продолжается дальше, то величина угла поворота становится больше $360^\circ$.

Таким образом, смысл углов с градусной мерой больше $360^\circ$ заключается в том, что они описывают вращение, включающее один или несколько полных оборотов. Такие углы несут информацию не только о конечном положении объекта, но и о полной "истории" его вращения.

Например:

— Угол $450^\circ$ означает, что объект совершил один полный оборот ($360^\circ$) и после этого повернулся еще на $90^\circ$. Математически это записывается как $450^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 90^\circ$. Конечное положение объекта будет таким же, как и при повороте на $90^\circ$, но полный угол поворота равен $450^\circ$.

— Угол $750^\circ$ означает два полных оборота и дополнительный поворот на $30^\circ$: $750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.

Это понятие имеет важное практическое применение:

1. В физике и механике: для описания вращательного движения. Например, угловая скорость измеряется в градусах (или радианах) в секунду, и за несколько секунд объект может повернуться на угол, значительно превышающий $360^\circ$.
2. В тригонометрии: для понимания периодичности тригонометрических функций. Значения функций, таких как синус и косинус, повторяются каждые $360^\circ$. Например, $\sin(50^\circ) = \sin(50^\circ + 360^\circ) = \sin(410^\circ)$.
3. В инженерии: для отслеживания количества оборотов валов двигателей, колес или винтов.

Любой угол $\alpha$ можно представить в виде $\alpha = \beta + n \cdot 360^\circ$, где $n$ — это целое число, обозначающее количество полных оборотов, а $\beta$ — это угол в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, определяющий конечное положение.

Ответ: Углы больше $360^\circ$ описывают поворот, включающий один или несколько полных оборотов. Они показывают не только конечное положение объекта, но и полную величину совершенного им вращения.