Номер 11, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Какая единица измерения углов называется радианом и как радиан связан с градусом?

Радиан — это единица измерения плоских углов, широко используемая в математике, физике и инженерии. Один радиан определяется как величина центрального угла в окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

Если рассмотреть окружность радиусом $r$, то центральный угол $\alpha$, опирающийся на дугу длиной $l$, в радианах выражается формулой: $\alpha_{\text{рад}} = \frac{l}{r}$

Из этой формулы следует, что если длина дуги $l$ равна радиусу $r$, то угол $\alpha$ равен $1$ радиану. Так как радиан определяется через отношение двух длин, он является безразмерной величиной.

Связь между радианной и градусной мерой углов устанавливается исходя из того, что полный оборот (полная окружность) равен $360^\circ$. Длина полной окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставив эту длину в формулу для радианной меры, получим величину полного угла в радианах: $\alpha_{\text{полный}} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ радиан}$

Таким образом, мы получаем фундаментальное соотношение: $360^\circ = 2\pi \text{ радиан}$

Разделив обе части этого равенства на 2, получим более простое и часто используемое соотношение, связывающее градусы и радианы: $180^\circ = \pi \text{ радиан}$

Из этого соотношения легко получить формулы для перевода:

• Для перевода угла из градусов в радианы используется формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}$
• Для перевода угла из радиан в градусы используется формула: $\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi}$

Используя последнюю формулу, можно вычислить приближенное значение одного радиана в градусах: $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ \approx 57.3^\circ$

Ответ: Радиан — это центральный угол, у которого длина стягивающей его дуги равна радиусу окружности. Связь радиана с градусом определяется соотношением $180^\circ = \pi$ радиан. Из этого следует, что $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ$, а $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан.