Номер 8, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Назовите производные единицы измерения угла и укажите, как они связаны с основной единицей.

Основной единицей измерения плоского угла в Международной системе единиц (СИ) является радиан, однако на практике часто используется градусная система. Производные единицы обычно вводятся как доли градуса.

Производные единицы измерения угла

К производным (и исторически наиболее распространенным) единицам измерения угла относятся:

• Угловая минута (аркминута): обозначается штрихом (').
• Угловая секунда (арксекунда): обозначается двойным штрихом ('').

Также к внесистемным и производным единицам можно отнести град (гон) и оборот.

Как они связаны с основной единицей

Связь этих единиц можно рассмотреть относительно двух "основных" единиц: градуса (в практических задачах) и радиана (в системе СИ).

Связь с градусом:

Минута и секунда являются долями градуса, который определяется как $1/360$ часть полной окружности.

$1 \text{ градус} = 60 \text{ угловых минут} \quad (1^\circ = 60')$

$1 \text{ минута} = 60 \text{ угловых секунд} \quad (1' = 60'')$

Следовательно, $1 \text{ градус} = 3600 \text{ секунд} \quad (1^\circ = 3600'')$.

Связь с радианом (основная единица СИ):

Радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полная окружность содержит $2\pi$ радиан. Связь с градусом: $360^\circ = 2\pi \text{ рад}$, или $180^\circ = \pi \text{ рад}$. Исходя из этого, связь производных единиц с радианом следующая:

Градус: $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ рад}$

Минута: $1' = \frac{1}{60}^\circ = \frac{\pi}{60 \cdot 180} \text{ рад} = \frac{\pi}{10800} \text{ рад}$

Секунда: $1'' = \frac{1}{60}' = \frac{\pi}{60 \cdot 10800} \text{ рад} = \frac{\pi}{648000} \text{ рад}$

Ответ: Производные единицы измерения угла — это угловая минута (') и угловая секунда (''). Они связаны с градусом ($^\circ$) как его доли: $1^\circ = 60'$ и $1' = 60''$. Связь с основной единицей СИ (радианом) выражается через формулу $180^\circ = \pi \text{ радиан}$, что дает $1' = \frac{\pi}{10800}$ радиан и $1'' = \frac{\pi}{648000}$ радиан.