Номер 14, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. Что принимают за величину угла между параллельными прямыми; между параллельными прямой и плоскостью; между параллельными плоскостями?

между параллельными прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называют величину наименьшего из смежных углов, образованных этими прямыми. Его значение всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Параллельные прямые по определению не пересекаются, поэтому для них понятие угла вводится по соглашению.

Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Это соглашение является логичным, поскольку если взять две пересекающиеся прямые и начать поворачивать одну из них до тех пор, пока она не станет параллельна второй, то угол между ними будет стремиться к нулю.

Это также следует из векторного определения. Угол $\alpha$ между двумя прямыми можно определить как угол между их направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. У параллельных прямых направляющие векторы коллинеарны, то есть $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:$\cos\alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$. Подставив сюда выражение для коллинеарных векторов, получим:$\cos\alpha = \frac{|(k \cdot \vec{v_2}) \cdot \vec{v_2}|}{|k \cdot \vec{v_2}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{|k| \cdot (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2})}{|k| \cdot |\vec{v_2}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{|\vec{v_2}|^2}{|\vec{v_2}|^2} = 1$. Если $\cos\alpha = 1$, то угол $\alpha = 0^\circ$.

Ответ: Величина угла между параллельными прямыми принимается равной $0^\circ$.

между параллельной прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей её, называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), она либо не имеет с плоскостью общих точек, либо все её точки принадлежат плоскости. В этом случае угол также определяется по соглашению.

Принято считать, что угол между прямой и параллельной ей плоскостью равен нулю. Это определение вытекает из основного. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\pi$, то её ортогональная проекция $a'$ на эту плоскость будет прямой, параллельной исходной прямой $a$. А угол между двумя параллельными прямыми, как показано выше, равен $0^\circ$.

С точки зрения векторов, если прямая с направляющим вектором $\vec{v}$ параллельна плоскости с вектором нормали $\vec{n}$, то эти векторы перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$. Угол $\beta$ между прямой и плоскостью определяется через угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{n}$ по формуле:$\sin\beta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$. Поскольку $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$, то $\sin\beta = 0$. Так как угол между прямой и плоскостью находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, из $\sin\beta = 0$ следует, что $\beta = 0^\circ$.

Ответ: Величина угла между параллельной прямой и плоскостью принимается равной $0^\circ$.

между параллельными плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения через одну точку. Этот угол равен углу между нормальными векторами данных плоскостей. Параллельные плоскости не пересекаются, и угол между ними также определяется по соглашению.

Принято считать, что угол между параллельными плоскостями равен нулю. Это является естественным продолжением определения для пересекающихся плоскостей. Если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ коллинеарны (параллельны).

Угол $\phi$ между плоскостями равен углу между их нормалями. Для коллинеарных векторов, как было показано в первом пункте, угол равен $0^\circ$. Формула для косинуса угла между плоскостями:$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$. Так как векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ коллинеарны, эта дробь равна 1, откуда $\phi = \arccos(1) = 0^\circ$.

Ответ: Величина угла между параллельными плоскостями принимается равной $0^\circ$.