Номер 39, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

39. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды; конуса; правильной усеченной пирамиды; усеченного конуса?

правильной пирамиды: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех её боковых граней. Поскольку пирамида правильная, её основанием является правильный многоугольник, а боковые грани — это равные между собой равнобедренные треугольники.
Пусть `$P$` — периметр основания пирамиды, а `$l$` — апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды).
Площадь боковой поверхности можно найти, разложив её на составляющие треугольники. Сумма оснований этих треугольников равна периметру основания пирамиды `$P$`. Тогда общая площадь равна половине произведения периметра основания на апофему.
Формула для вычисления:`$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$`
Ответ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра её основания на апофему: `$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$`.

конуса: Боковую поверхность конуса можно развернуть в круговой сектор. Радиусом этого сектора будет образующая конуса `$l$`, а длина дуги сектора будет равна длине окружности основания конуса `$C = 2 \pi r$`, где `$r$` — радиус основания.
Площадь кругового сектора вычисляется как половина произведения длины его дуги на радиус.
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса `$S_{бок}$` равна:`$S_{бок} = \frac{1}{2} C \cdot l = \frac{1}{2} (2 \pi r) l = \pi r l$`
Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа `$\pi$` на радиус основания и на образующую: `$S_{бок} = \pi r l$`.

правильной усеченной пирамиды: Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из нескольких одинаковых равнобедренных трапеций.
Пусть `$P_1$` — периметр нижнего основания, `$P_2$` — периметр верхнего основания, а `$l$` — апофема усеченной пирамиды (высота боковой грани).
Площадь боковой поверхности равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Это следует из суммирования площадей боковых граней-трапеций. Площадь одной трапеции равна `$\frac{a_1+a_2}{2}l$`, где `$a_1$` и `$a_2$` - стороны оснований. Суммируя по всем `$n$` граням, получаем `$\frac{1}{2}(na_1 + na_2)l = \frac{1}{2}(P_1+P_2)l$`.
Формула для вычисления:`$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$`
Ответ: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему: `$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$`.

усеченного конуса: Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле, которая связывает радиусы его оснований и образующую.
Пусть `$r_1$` — радиус нижнего основания, `$r_2$` — радиус верхнего основания, а `$l$` — образующая усеченного конуса.
Боковую поверхность можно представить как разность боковых поверхностей большого конуса (из которого был получен усеченный) и малого (отсеченного). Формула выводится из этого принципа и подобия треугольников в осевом сечении. Итоговая формула имеет вид:`$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$`
Эта формула аналогична площади трапеции, где `$\pi r_1$` и `$\pi r_2$` можно рассматривать как "длины" оснований (полуокружности), а `$l$` как "высоту".
Ответ: Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа `$\pi$` на сумму радиусов оснований и на образующую: `$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$`.