Номер 40, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

40. Чему равна площадь сферы; сферического купола; сферического пояса?

Площадь сферы

Сфера — это поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Это расстояние называется радиусом сферы и обозначается как $R$.
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле, которая связывает её с радиусом. Эта формула была доказана Архимедом, который установил, что площадь сферы равна учетверённой площади большого круга (круга с тем же радиусом, что и у сферы).
Формула для площади сферы:
$S = 4\pi R^2$
где:
$S$ — площадь сферы,
$R$ — радиус сферы,
$\pi$ — математическая константа (пи), приблизительно равная 3,14159.

Ответ: $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус сферы.

Площадь сферического купола

Сферический купол (также известный как сферический сегмент) — это часть поверхности сферы, отсекаемая от неё плоскостью.
Площадь сферического купола зависит от радиуса сферы ($R$) и высоты купола ($h$). Высота купола — это перпендикулярное расстояние от центра основания купола (круга, образованного сечением) до самой удаленной точки купола на сфере.
Формула для вычисления площади поверхности сферического купола:
$S_{куп} = 2\pi R h$
где:
$S_{куп}$ — площадь сферического купола,
$R$ — радиус сферы,
$h$ — высота купола.
Примечательно, что эта площадь равна площади боковой поверхности цилиндра, радиус основания которого равен радиусу сферы ($R$), а высота равна высоте купола ($h$).

Ответ: $S = 2\pi R h$, где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота купола.

Площадь сферического пояса

Сферический пояс — это часть поверхности сферы, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу.
Для вычисления площади сферического пояса необходимы радиус сферы ($R$) и высота пояса ($h$). Высота пояса — это перпендикулярное расстояние между двумя параллельными секущими плоскостями.
Формула для площади сферического пояса имеет тот же вид, что и для сферического купола:
$S_{пояса} = 2\pi R h$
где:
$S_{пояса}$ — площадь сферического пояса,
$R$ — радиус сферы,
$h$ — высота пояса.
Этот важный результат означает, что площадь сферического пояса зависит только от радиуса сферы и расстояния между секущими плоскостями (высоты пояса), но не от их положения относительно центра сферы. Сферический купол является частным случаем сферического пояса, когда одна из плоскостей касается сферы.

Ответ: $S = 2\pi R h$, где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота пояса (расстояние между параллельными плоскостями).