Номер 484, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

484. Три прямые $a, b, c$ пересекаются в одной точке, причем прямая $a$ составляет с прямой $b$ угол в $20^\circ$, а с прямой $c$ — угол в $72^\circ$. Найдите:

а) угол между прямыми $b$ и $c$;

б) угол между биссектрисами углов, которые прямая $c$ составляет с прямыми $a$ и $b$, причем эти углы располагаются по одну сторону от прямой $c$.

Пусть три прямые $a, b, c$ пересекаются в точке $O$. Угол между двумя прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Его значение всегда находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

По условию задачи нам дано:

• Угол между прямыми $a$ и $b$ равен $20^\circ$. Обозначим это как $\angle(a, b) = 20^\circ$.
• Угол между прямыми $a$ и $c$ равен $72^\circ$. Обозначим это как $\angle(a, c) = 72^\circ$.

Для нахождения угла между прямыми $b$ и $c$ необходимо рассмотреть два возможных случая их взаимного расположения.

Случай 1: Прямая $b$ проходит внутри острого угла между прямыми $a$ и $c$.

Рассмотрим один из острых углов, равный $72^\circ$, образованный прямыми $a$ и $c$. Если прямая $b$ проходит через этот угол, то она делит его на два смежных угла. Один из этих углов — это угол между прямыми $a$ и $b$, который равен $20^\circ$. Второй угол — это искомый угол между прямыми $b$ и $c$. Его величина равна разности углов $\angle(a, c)$ и $\angle(a, b)$.

$\angle(b, c) = \angle(a, c) - \angle(a, b) = 72^\circ - 20^\circ = 52^\circ$.

Так как $52^\circ < 90^\circ$, это и есть искомый угол между прямыми.

Случай 2: Прямая $b$ не проходит внутри острого угла между прямыми $a$ и $c$.

В этом случае, если рассматривать углы, образованные лучами, исходящими из точки пересечения $O$, луч прямой $a$ будет лежать между лучами прямых $b$ и $c$. Тогда угол между лучами прямых $b$ и $c$ будет равен сумме углов, которые они образуют с лучом прямой $a$.

Угол между лучами $b$ и $c$ составит $20^\circ + 72^\circ = 92^\circ$.

Это один из углов, образованных пересечением прямых $b$ и $c$. По определению, углом между прямыми является меньший из смежных углов. Найдем его:

$\angle(b, c) = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.

Таким образом, для этого пункта существует два возможных решения в зависимости от расположения прямых.

Ответ: $52^\circ$ или $88^\circ$.

Пусть $l_a$ — биссектриса угла между прямыми $c$ и $a$, а $l_b$ — биссектриса угла между прямыми $c$ и $b$. Условие, что "эти углы располагаются по одну сторону от прямой с", означает, что мы рассматриваем углы, имеющие общую сторону, лежащую на прямой $c$, и находящиеся в одной полуплоскости относительно прямой $c$.

Пусть $\alpha$ — угол между прямой $c$ и прямой $a$ в этой полуплоскости, а $\beta$ — угол между прямой $c$ и прямой $b$ в той же полуплоскости. Угол между биссектрисой $l_a$ и прямой $c$ равен $\frac{\alpha}{2}$. Угол между биссектрисой $l_b$ и прямой $c$ равен $\frac{\beta}{2}$.

Угол между биссектрисами $l_a$ и $l_b$ будет равен модулю разности углов, которые они образуют с общей прямой $c$:

$\text{Искомый угол} = \left| \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \right| = \frac{1}{2} |\alpha - \beta|$.

Величина $|\alpha - \beta|$ представляет собой угол между прямыми $a$ и $b$ (так как $\alpha$ и $\beta$ отсчитываются от одной и той же прямой $c$ в одной и той же полуплоскости). По условию, угол между прямыми $a$ и $b$ равен $20^\circ$.

Следовательно, искомый угол равен половине угла между прямыми $a$ и $b$:

$\text{Угол} = \frac{1}{2} \times \angle(a, b) = \frac{1}{2} \times 20^\circ = 10^\circ$.

Этот результат не зависит от того, какой из двух случаев из пункта (а) мы рассматриваем. Давайте это проверим:

• В Случае 1 из пункта (а) углы по одну сторону от $c$ равны $\alpha = 72^\circ$ и $\beta = 52^\circ$. Угол между биссектрисами: $\left| \frac{72^\circ}{2} - \frac{52^\circ}{2} \right| = |36^\circ - 26^\circ| = 10^\circ$.
• В Случае 2 из пункта (а) углы по одну сторону от $c$ равны $\alpha = 72^\circ$ и $\beta = 92^\circ$. Угол между биссектрисами: $\left| \frac{72^\circ}{2} - \frac{92^\circ}{2} \right| = |36^\circ - 46^\circ| = |-10^\circ| = 10^\circ$.

В обоих случаях ответ одинаков.

Ответ: $10^\circ$.