Номер 48, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

48. Как объем описанного около шара многогранника связан с его поверхностью и его радиусом?

Пусть имеется многогранник, описанный около шара. Обозначим объем этого многогранника как $V$, площадь его полной поверхности как $S$, и радиус вписанного в него шара как $r$.

Для того чтобы установить связь между этими тремя величинами, можно использовать метод декомпозиции. Мысленно соединим центр вписанного шара $O$ со всеми вершинами многогранника. Это действие разделит весь многогранник на множество пирамид. У каждой такой пирамиды:

• основанием является одна из граней многогранника;
• вершиной является центр шара $O$.

Общий объем многогранника $V$ будет равен сумме объемов всех этих пирамид:

$V = V_1 + V_2 + \dots + V_n = \sum_{i=1}^{n} V_i$,

где $n$ — это количество граней многогранника, а $V_i$ — объем $i$-й пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по стандартной формуле:

$V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h$,

где $S_{\text{основания}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В нашем случае, для $i$-й пирамиды основанием служит $i$-я грань многогранника, площадь которой обозначим $S_i$. Высотой $h_i$ этой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины (центра шара $O$) на плоскость основания (плоскость грани).

Так как многогранник описан около шара, каждая его грань касается шара. Это по определению означает, что расстояние от центра шара до плоскости любой его грани равно радиусу шара $r$. Следовательно, высота каждой из наших пирамид равна радиусу вписанного шара: $h_1 = h_2 = \dots = h_n = r$.

Таким образом, объем $i$-й пирамиды можно выразить как:

$V_i = \frac{1}{3} S_i r$

Теперь, чтобы найти общий объем многогранника, просуммируем объемы всех пирамид:

$V = \sum_{i=1}^{n} V_i = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{3} S_i r\right)$

Вынесем общие множители $\frac{1}{3}$ и $r$ за знак суммы:

$V = \frac{1}{3} r (S_1 + S_2 + \dots + S_n)$

Сумма площадей всех граней $(S_1 + S_2 + \dots + S_n)$ есть не что иное, как полная площадь поверхности многогранника $S$.

$S = \sum_{i=1}^{n} S_i$

Подставив $S$ в выражение для объема, мы получаем искомую связь:

$V = \frac{1}{3} S r$

Ответ: Объем многогранника, описанного около шара, связан с площадью его поверхности и радиусом вписанного шара следующей формулой: объем равен одной трети произведения площади полной поверхности многогранника на радиус вписанного шара. Формула: $V = \frac{1}{3} S r$, где $V$ — объем многогранника, $S$ — площадь его полной поверхности, а $r$ — радиус вписанного шара.