Номер 489, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

489. Правильные трех-, четырех-, пяти-, шестиугольники имеют углы, которые измеряются целым числом градусов, а углы правильного семиугольника этого свойства не имеют. Найдите:

а) величину угла правильного семиугольника;

б) количество правильных многоугольников, углы которых измеряются целым числом градусов.

Рис. 390

а) величину угла правильного семиугольника;

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула:

$ \alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $

где $n$ — это количество сторон многоугольника. Для правильного семиугольника (гептагона) $n=7$. Подставим это значение в формулу:

$ \alpha_7 = \frac{(7-2) \cdot 180^\circ}{7} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{7} = \frac{900^\circ}{7} $

Чтобы получить значение в градусах, разделим 900 на 7. Это можно представить в виде смешанной дроби:

$ \frac{900}{7} = 128 \frac{4}{7} $

Таким образом, угол правильного семиугольника равен $128 \frac{4}{7}^\circ$. Это значение не является целым числом, что подтверждает условие задачи.

Ответ: $128 \frac{4}{7}^\circ$.

б) количество правильных многоугольников, углы которых измеряются целым числом градусов.

Чтобы величина угла правильного n-угольника $\alpha_n$ была целым числом, необходимо, чтобы выражение $\frac{(n-2) \cdot 180}{n}$ было целым. Преобразуем это выражение:

$ \alpha_n = \frac{180n - 360}{n} = 180 - \frac{360}{n} $

Поскольку 180 является целым числом, для того чтобы $\alpha_n$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{360}{n}$ также была целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 360.

Нам нужно найти все возможные значения $n$, которые удовлетворяют двум условиям:

1. $n$ — делитель числа 360.
2. $n \ge 3$, так как многоугольник должен иметь не менее трех сторон.

Найдем все делители числа 360. Для этого разложим 360 на простые множители:

$ 360 = 36 \cdot 10 = (6 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 $

Количество всех делителей числа 360 можно найти по формуле, используя показатели степеней простых множителей: $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

Всего у числа 360 существует 24 натуральных делителя. Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Из этого списка нам нужно исключить значения, которые меньше 3, то есть 1 и 2, так как многоугольников с таким числом сторон не существует.

Количество подходящих значений $n$ равно общему числу делителей минус два (для 1 и 2):

$ 24 - 2 = 22 $

Следовательно, существует 22 правильных многоугольника, углы которых измеряются целым числом градусов.

Ответ: 22.